Determine o polinômio p de grau 2 que satisfaz as seguintes condições:
  • é divisível por x + 1;
  • apresenta resto igual a 3 quando é dividido por x-2;
  • forall x in C, p(x)=p(-x)

Passo 1

O exercício pede para encontrar um polinômio de grau 2 que seja par (ou seja, satisfaz p(x)=p(-x)), divisível por x+1 e cujo resto ao dividir por x-2 seja 3. Vamos usar essas informações para definir e determinar os coeficientes de p(x).

Passo 2

Como p(x) é um polinômio de grau 2 e satisfaz p(x)=p(-x), ele não pode ter termo de grau ímpar. Logo, podemos escrever p(x)=ax^2+b para alguns a,binC.
A condição de divisibilidade por x+1 implica p(-1)=0. Substituindo em p(x)=ax^2+b obtemos:\
acdot(-1)^2+b=a+b=0\
Portanto, b=-a.

Passo 3

A condição de resto 3 na divisão por x-2 significa p(2)=3. Substituindo em p(x)=ax^2+b e usando b=-a obtemos:\
p(2)=4a+b=4a- a=3a=3\
Logo, a=1 e então b=-1.

Passo 4

Substituindo a=1 e b=-1 em p(x)=ax^2+b, encontramos o polinômio desejado.

Resposta

p(x)=x^2-1

Exercícios relacionados