O polinômio
, com
e
constantes reais, é divisível por
, e o quociente obtido nessa divisão é um polinômio que apresenta uma raiz real dupla. Quais são os valores de
e
?
Passo 1
O enunciado diz que o polinômio
é divisível por
, ou seja,
é raiz, e que o quociente dessa divisão é um polinômio quadrático com raiz real dupla. Vamos usar essas condições para determinar
e
.
Passo 2
Como
é raiz de
, impomos
Resolvendo essa igualdade obtemos
ou seja
Passo 3
Como a divisão de
por
dá um quociente quadrático
, escrevemos
Comparando com
extraímos o sistema
Passo 4
Da primeira equação temos
Substituindo em
e
vem
e
Passo 5
O quociente é
e tem raiz dupla, logo seu discriminante vale zero:
$$
\triangle = (-4)^2 - 4b = 0
16 - 4b = 0
b = 4.
$$
Passo 6
Por fim, de
segue
, e de
segue
.
Resposta
m = -8, n = 12