O polinômio x^3-x^2+m x+n, com m e n constantes reais, é divisível por x+3, e o quociente obtido nessa divisão é um polinômio que apresenta uma raiz real dupla. Quais são os valores de m e n ?

Passo 1

O enunciado diz que o polinômio p(x)=x^3 - x^2 + m x + n é divisível por x+3, ou seja, -3 é raiz, e que o quociente dessa divisão é um polinômio quadrático com raiz real dupla. Vamos usar essas condições para determinar m e n.

Passo 2

Como -3 é raiz de p(x), impomos
(-3)^3 - (-3)^2 + m(-3) + n = 0
Resolvendo essa igualdade obtemos
-27 - 9 - 3m + n = 0
ou seja
n = 3m + 36

Passo 3

Como a divisão de p(x) por x+3 dá um quociente quadrático q(x)=x^2 + ax + b, escrevemos
(x+3)(x^2 + ax + b) = x^3 + (a+3)x^2 + (b+3a)x + 3b
Comparando com x^3 - x^2 + m x + n extraímos o sistema
a + 3 = -1,
b + 3a = m,
3b = n

Passo 4

Da primeira equação temos
a = -4
Substituindo em b + 3a = m e 3b = n vem
b - 12 = m
e
n = 3b

Passo 5

O quociente é q(x)=x^2 - 4x + b e tem raiz dupla, logo seu discriminante vale zero:
$$
\triangle = (-4)^2 - 4b = 0
triang<= = (-4)^2 - 4b = 0 í
16 - 4b = 0
16 - 4b = 0
b = 4.
$$

Passo 6

Por fim, de b - 12 = m segue m = 4 - 12 = -8, e de n = 3b segue .

Resposta

m = -8, n = 12

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