Qual é o polinômio
de grau 3 que tem coeficiente dominante igual a 2, apresenta zero como uma de suas raízes e satisfaz as condições
e
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio $ p $ de grau 3 com as seguintes características:
- Coeficiente dominante igual a 2: Isso significa que o termo de maior grau do polinômio é $ 2x^3 $.
- Zero como uma das raízes: Ou seja, $ x = 0 $ é solução da equação $ p(x) = 0 $.
- Satisfaz $ p(i) = p(-i) $: Quando substituímos $ i $ e $ -i $ no polinômio, o resultado deve ser o mesmo.
- $ p(1) = 5 $: Substituindo $ x = 1 $, o valor do polinômio deve ser 5.
Pra resolver, vamos precisar entender como montar um polinômio de grau 3 com essas condições e usar um pouco de álgebra para encontrar os coeficientes faltantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a forma geral do polinômio $ p(x) $ de grau 3 com coeficiente dominante 2. Isso significa que a equação começa com $ 2x^3 $ e pode ser escrita assim:
Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ são coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Sabemos que $ x = 0 $ é uma raiz do polinômio, ou seja, $ p(0) = 0 $. Vamos substituir $ x = 0 $ na equação:
Simplificando:
Portanto, $ c = 0 $. Agora, nosso polinômio fica:
Passo 4
Agora, vamos usar a condição $ p(i) = p(-i) $. Primeiro, substituímos $ x = i $ e $ x = -i $ na equação:
Sabemos que $ i^2 = -1 $ e $ i^3 = -i $, então vamos simplificar:
De acordo com a condição $ p(i) = p(-i) $:
Passo 5
Agora, vamos igualar as partes reais e imaginárias separadamente:
Parte real:
Essa igualdade é sempre verdadeira e não nos dá nova informação.
Parte imaginária:
Podemos somar $ 2i $ de ambos os lados:
Agora, somamos $ bi $ de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por $ 2i $:
Então, encontramos que $ b = 2 $.
Passo 6
Agora que sabemos que $ b = 2 $ e $ c = 0 $, nosso polinômio fica:
Ainda falta encontrar o valor de $ a $. Para isso, vamos usar a última condição: $ p(1) = 5 $. Vamos substituir $ x = 1 $ na equação:
Simplificando:
Somando os números:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Resposta
O polinômio procurado é: