Qual é o polinômio p de grau 3 que tem coeficiente dominante igual a 2, apresenta zero como uma de suas raízes e satisfaz as condições p(i)=p(-i) e p(1)=5 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio $ p $ de grau 3 com as seguintes características:
  1. Coeficiente dominante igual a 2: Isso significa que o termo de maior grau do polinômio é $ 2x^3 $.
  2. Zero como uma das raízes: Ou seja, $ x = 0 $ é solução da equação $ p(x) = 0 $.
  3. Satisfaz $ p(i) = p(-i) $: Quando substituímos $ i $ e $ -i $ no polinômio, o resultado deve ser o mesmo.
  4. $ p(1) = 5 $: Substituindo $ x = 1 $, o valor do polinômio deve ser 5.
Pra resolver, vamos precisar entender como montar um polinômio de grau 3 com essas condições e usar um pouco de álgebra para encontrar os coeficientes faltantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a forma geral do polinômio $ p(x) $ de grau 3 com coeficiente dominante 2. Isso significa que a equação começa com $ 2x^3 $ e pode ser escrita assim:
p(x)
Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ são coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que $ x = 0 $ é uma raiz do polinômio, ou seja, $ p(0) = 0 $. Vamos substituir $ x = 0 $ na equação:
x = 0
Simplificando:
p(0) = 0
Portanto, $ c = 0 $. Agora, nosso polinômio fica:
x = 0

Passo 4

Agora, vamos usar a condição $ p(i) = p(-i) $. Primeiro, substituímos $ x = i $ e $ x = -i $ na equação:
p(i) = p(-i)
x = i
Sabemos que $ i^2 = -1 $ e $ i^3 = -i $, então vamos simplificar:
x = -i
p(i) = 2(i)^3 + a(i)^2 + b(i)
De acordo com a condição $ p(i) = p(-i) $:
p(-i) = 2(-i)^3 + a(-i)^2 + b(-i)

Passo 5

Agora, vamos igualar as partes reais e imaginárias separadamente:
Parte real:
-a = -a
Essa igualdade é sempre verdadeira e não nos dá nova informação.
Parte imaginária:
-2i + bi = 2i - bi
Podemos somar $ 2i $ de ambos os lados:
2i
Agora, somamos $ bi $ de ambos os lados:
bi = 4i - bi
Dividindo ambos os lados por $ 2i $:
bi
Então, encontramos que $ b = 2 $.

Passo 6

Agora que sabemos que $ b = 2 $ e $ c = 0 $, nosso polinômio fica:
b = 2
Ainda falta encontrar o valor de $ a $. Para isso, vamos usar a última condição: $ p(1) = 5 $. Vamos substituir $ x = 1 $ na equação:
c = 0
Simplificando:
p(x) = 2x^3 + ax^2 + 2x
Somando os números:
a
Subtraindo 4 de ambos os lados:
p(1) = 5

Resposta

O polinômio procurado é:
p(x) = 2x^3 + x^2 + 2x

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