O polinômio x^5+x^3-2 x é divisível por x ? E por x-1 ? E por x+1 ? por x^3-x ?

Passo 1

Estamos com o polinômio P(x)=x^5+x^3-2x e queremos saber se ele é divisível pelos polinômios x, x-1, x+1 e x^3-x. Vamos usar o Teorema do Resto (que diz que x-a divide P(x) se e somente se P(a)=0) e, no caso de x^3-x, também a fatoração x^3-x=x(x-1)(x+1).

Passo 2

Verificamos a divisibilidade por x calculando P(0):
P(0)=0^5+0^3-2cdot0=0
Como o resto é zero, x divide P(x).

Passo 3

Verificamos a divisibilidade por x-1 calculando P(1):
P(1)=1^5+1^3-2cdot1=1+1-2=0
Como o resto é zero, x-1 divide P(x).

Passo 4

Verificamos a divisibilidade por x+1 calculando P(-1):
P(-1)=(-1)^5+(-1)^3-2cdot(-1)=-1-1+2=0
Como o resto é zero, x+1 divide P(x).

Passo 5

Como x^3-x=x(x-1)(x+1) e mostramos que cada um desses fatores divide P(x), concluímos que x^3-x também divide P(x).
Para determinar o quociente da divisão de P(x) por x^3-x, fazemos a divisão polinomial:
x^5+x^3-2xx^3-x=x^2+2
sem resto.

Resposta

Sim. P(x) é divisível por x, x-1, x+1 e por x^3-x. O quociente da divisão por x^3-x é x^2+2.

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