Q2: Sejam
e
. Assinale a primeira entrada de
, as coordenadas do vetor
com relação à base
.
Passo 1
O enunciado dá:
- O vetor
. - A base
.
O que se pede:
- A primeira entrada de
, ou seja, o primeiro coeficiente das coordenadas de na base .
Passo 2
Entendendo o que significa "coordenadas de
em relação à base
":
Isso quer dizer que existem escalares
e
tais que a combinação linear dos vetores da base com esses escalares reproduz
. Em termos matemáticos:
Os números
e
são justamente as coordenadas de
na base
; a primeira entrada pedida é
.
Passo 3
Transformando a igualdade vetorial em um sistema linear para encontrar
e
:
Da igualdade vetorial obtemos as equações para as componentes
e
:
Passo 4
Resolver o sistema por eliminação (passo a passo):
Subtraindo
vezes a primeira equação da segunda:
O lado esquerdo fica
(pois
) e o direito fica
. Logo
Agora voltamos à primeira equação para achar
:
Passo 5
Interpretação e verificação rápida:
As coordenadas de
na base
são
Checagem:
, que é
. Está correto.