Q2: Sejam \vec{v}=(-2,-3) e \beta=\{(1,2),(1,3)\}. Assinale a primeira entrada de |\vec{v}|_{\beta}, as coordenadas do vetor \vec{v} com relação à base \beta.
\begin{array}{llllll}\text { (A) }-5 & \text { (B) }-4 & \text { \text{(C)} }-3 & \text { (D) }-2 & \text { (E) }-1 & \text { (F) } 0\end{array}

Passo 1

O enunciado dá:
  • O vetor \vec{v}=(-2,-3).
  • A base \beta=\{(1,2),(1,3)\}.
O que se pede:
  • A primeira entrada de |\vec{v}|_{\beta}, ou seja, o primeiro coeficiente das coordenadas de \vec{v} na base \beta.

Passo 2

Entendendo o que significa "coordenadas de \vec{v} em relação à base \beta":
Isso quer dizer que existem escalares c_1 e c_2 tais que a combinação linear dos vetores da base com esses escalares reproduz \vec{v}. Em termos matemáticos:
c_1(1,2) + c_2(1,3) = (-2,-3).
Os números c_1 e c_2 são justamente as coordenadas de \vec{v} na base \beta; a primeira entrada pedida é c_1.

Passo 3

Transformando a igualdade vetorial em um sistema linear para encontrar c_1 e c_2:
Da igualdade vetorial obtemos as equações para as componentes x e y:
\begin{cases} c_1 + c_2 = -2,\\[4pt] 2c_1 + 3c_2 = -3. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema por eliminação (passo a passo):
Subtraindo 2 vezes a primeira equação da segunda:
(2c_1+3c_2) - 2(c_1+c_2) = -3 - 2(-2).
O lado esquerdo fica c_2 (pois 2c_1+3c_2-2c_1-2c_2 = c_2) e o direito fica -3+4=1. Logo
c_2 = 1.
Agora voltamos à primeira equação para achar c_1:
c_1 + c_2 = -2 \quad\Rightarrow\quad c_1 + 1 = -2 \quad\Rightarrow\quad c_1 = -3.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida:
As coordenadas de \vec{v} na base \beta são
|\vec{v}|_{\beta} = (c_1,c_2) = (-3,1).
Checagem: (-3)(1,2) + 1(1,3) = (-3+1,\,-6+3)=(-2,-3), que é \vec{v}. Está correto.

Resposta

-3

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