Determine o polinômio de Taylor p2(x, y) da função f(x, y)=sen(x^4+y^4) em torno do ponto (0, pi).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o polinômio de Taylor de segundo grau, , da função em torno do ponto . Isso significa que vamos aproximar a função usando um polinômio que leva em conta até as derivadas de segunda ordem nesse ponto. Para resolver, vamos precisar das fórmulas do polinômio de Taylor para funções de duas variáveis e calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como construir o polinômio de Taylor de segundo grau para uma função de duas variáveis, p2(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) + 12[ fxx(a, b)(x - a)^2 + 2fxy(a, b)(x - a)(y - b) + fyy(a, b)(y - b)^2 ] , em torno de um ponto . A fórmula geral é:
Aqui, , são as derivadas parciais de primeira ordem, e , , são as derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 3

Vamos identificar e no nosso caso. O ponto em torno do qual estamos desenvolvendo o polinômio é . Então, e .
Agora, vamos calcular cada termo necessário para o polinômio.

Passo 4

Primeiro, calculamos f(0, pi) = sin(0^4 + pi^4) = sin(pi^4) :

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem em fx(x, y) = partialpartial x sin(x^4 + y^4) = cos(x^4 + y^4) cdot 4x^3 .
Primeira, a derivada parcial em relação a fx(0, pi) = cos(0^4 + pi^4) cdot 4 cdot 0^3 = cos(pi^4) cdot 0 = 0 :
fy(x, y) = partialpartial y sin(x^4 + y^4) = cos(x^4 + y^4) cdot 4y^3
Então,
fy(0, pi) = cos(0^4 + pi^4) cdot 4pi^3 = cos(pi^4) cdot 4pi^3
Agora, a derivada parcial em relação a :
Então,

Passo 6

Agora, vamos às derivadas parciais de segunda ordem em fxx(x, y) = partialpartial x ( cos(x^4 + y^4) cdot 4x^3 ) = -sin(x^4 + y^4) cdot 16x^6 + cos(x^4 + y^4) cdot 12x^2 .
Primeiro, fxx(0, pi) = -sin(pi^4) cdot 16 cdot 0^6 + cos(pi^4) cdot 12 cdot 0^2 = 0 :
fxy(x, y) = partialpartial y ( cos(x^4 + y^4) cdot 4x^3 ) = -sin(x^4 + y^4) cdot 16x^3y^3
Então,
fxy(0, pi) = -sin(pi^4) cdot 16 cdot 0^3 cdot pi^3 = 0
Agora, fyy(x, y) = partialpartial y ( cos(x^4 + y^4) cdot 4y^3 ) = -sin(x^4 + y^4) cdot 16y^6 + cos(x^4 + y^4) cdot 12y^2 :
fyy(0, pi) = -sin(pi^4) cdot 16pi^6 + cos(pi^4) cdot 12pi^2
Então,
Finalmente, :
Então,

Passo 7

Agora que temos todas as componentes, vamos montar o polinômio de Taylor:
p2(x, y) = sin(pi^4) + 0 cdot (x - 0) + cos(pi^4) cdot 4pi^3 (y - pi) + 12 [ 0 cdot (x - 0)^2 + 2 cdot 0 cdot (x - 0)(y - pi) + ( -sin(pi^4) cdot 16pi^6 + cos(pi^4) cdot 12pi^2 ) (y - pi)^2 ]
Simplificando:
p2(x, y) = sin(pi^4) + 4pi^3 cos(pi^4) (y - pi) + 12 ( -16pi^6 sin(pi^4) + 12pi^2 cos(pi^4) ) (y - pi)^2

Resposta

O polinômio de Taylor de segundo grau é:
p2(x, y) = sin(pi^4) + 4pi^3 cos(pi^4) (y - pi) + 12 ( -16pi^6 sin(pi^4) + 12pi^2 cos(pi^4) ) (y - pi)^2

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