Determine o polinômio de Taylor
da função
em torno do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o polinômio de Taylor de segundo grau,
, da função
em torno do ponto
. Isso significa que vamos aproximar a função usando um polinômio que leva em conta até as derivadas de segunda ordem nesse ponto. Para resolver, vamos precisar das fórmulas do polinômio de Taylor para funções de duas variáveis e calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como construir o polinômio de Taylor de segundo grau para uma função de duas variáveis,
, em torno de um ponto
. A fórmula geral é:
Aqui,
,
são as derivadas parciais de primeira ordem, e
,
,
são as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso caso. O ponto em torno do qual estamos desenvolvendo o polinômio é
. Então,
e
.
Agora, vamos calcular cada termo necessário para o polinômio.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem em
.
Primeira, a derivada parcial em relação a
:
Então,
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Então,
Passo 6
Agora, vamos às derivadas parciais de segunda ordem em
.
Primeiro,
:
Então,
Agora,
:
Então,
Finalmente,
:
Então,
Passo 7
Agora que temos todas as componentes, vamos montar o polinômio de Taylor:
Simplificando:
Resposta
O polinômio de Taylor de segundo grau é: