Determine o polinômio de Taylor de grau 5 da função
em torno de
.
Passo 1
O enunciado nos pede para achar o polinômio de Taylor (Maclaurin) de grau 5 da função
em torno de
. O conteúdo envolve séries de Taylor e vamos precisar usar a expansão em série geométrica ou binomial para
.
Passo 2
A série de Taylor de
em torno de zero é dada por
, mas uma alternativa mais simples aqui é notar que
com
e usar a série de potência (geométrica):
Passo 3
Substituindo
obtemos a expansão de
:
Passo 4
Para construir o polinômio de Taylor de grau 5, mantemos apenas os termos com grau
. Como cada termo é de grau
, temos
para
. Coletando esses termos:
dá 1,
dá
,
dá
. Não há termos de grau ímpar até o grau 5.
Passo 5
O polinômio de Taylor de grau 5 de
em torno de 0 é então
Resposta
P_{5}(x)=1 - x^{2} + x^{4}