Determine o polinômio de Taylor de grau 5 da função f(x)=11+x^2 em torno de x=0.

Passo 1

O enunciado nos pede para achar o polinômio de Taylor (Maclaurin) de grau 5 da função f(x)=11+x^2 em torno de x=0. O conteúdo envolve séries de Taylor e vamos precisar usar a expansão em série geométrica ou binomial para (1+u)^-1.

Passo 2

A série de Taylor de f em torno de zero é dada por f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!x^n, mas uma alternativa mais simples aqui é notar que f(x)=(1+u)^-1 com u=x^2 e usar a série de potência (geométrica):
(1+u)^-1=sumk=0^infty(-1)^ku^k,válido para |u|<1 á

Passo 3

Substituindo u=x^2 obtemos a expansão de f(x):
11+x^2=sumk=0^infty(-1)^kx^2k

Passo 4

Para construir o polinômio de Taylor de grau 5, mantemos apenas os termos com grau <=5. Como cada termo é de grau 2k, temos 2k<=5 para k=0,1,2. Coletando esses termos: k=0 dá 1, k=1 -x^2, k=2 +x^4. Não há termos de grau ímpar até o grau 5.

Passo 5

O polinômio de Taylor de grau 5 de f(x) em torno de 0 é então
P5(x)=1 - x^2 + x^4

Resposta

P_{5}(x)=1 - x^{2} + x^{4}

Exercícios relacionados