Encontre
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais segundas de
f(x,y)=y+x2y+4y3-\ln(y^2+1).
Isso faz parte do conteúdo de derivadas parciais de funções de duas variáveis, onde vamos usar as regras de derivação: derivada de soma, do produto e da função logarítmica.
Passo 2
Como a variável x aparece apenas no termo x^2y, ao derivar em relação a x tratamos y como constante.
A derivada parcial de primeiro ordem é
Derivando mais uma vez em relação a x (aqui y continua constante), temos
Passo 3
Agora derivamos em relação a y. Primeiro, a derivada parcial de primeiro ordem. Usamos:
- derivada de y é 1;
- derivada de x^2y (x^2 é constante) é x^2;
- derivada de 4y^3 é 12y^2;
- derivada de -\ln(y^2+1) usa
com :
Somando tudo, obtemos
Passo 4
Por fim, derivamos
em relação a y para achar a segunda parcial
. Os termos 1 e x^2 somem, e temos:
- derivada de 12y^2 é 24y;
- derivada de
usamos quociente ou produto:
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