Encontre vartheta^2 fvartheta x^2, vartheta^2 fvartheta y^2
f(x, y)=y+x^2 y+4 y^3-ln (y^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais segundas de
f(x,y)=y+x2y+4y3-\ln(y^2+1).
Isso faz parte do conteúdo de derivadas parciais de funções de duas variáveis, onde vamos usar as regras de derivação: derivada de soma, do produto e da função logarítmica.

Passo 2

Como a variável x aparece apenas no termo x^2y, ao derivar em relação a x tratamos y como constante.
A derivada parcial de primeiro ordem é
partial fpartial x=partialpartial x(x^2y)=2xy
Derivando mais uma vez em relação a x (aqui y continua constante), temos
partial^2 fpartial x^2=partialpartial x(2xy)=2y

Passo 3

Agora derivamos em relação a y. Primeiro, a derivada parcial de primeiro ordem. Usamos:
  • derivada de y é 1;
  • derivada de x^2y (x^2 é constante) é x^2;
  • derivada de 4y^3 é 12y^2;
  • derivada de -\ln(y^2+1) usa ddyln(u)=u'u com u=y^2+1:
ddyl(-ln(y^2+1)r)=-2yy^2+1
Somando tudo, obtemos
partial fpartial y=1+x^2+12y^2-2yy^2+1

Passo 4

Por fim, derivamos partial fpartial y em relação a y para achar a segunda parcial partial^2 fpartial y^2. Os termos 1 e x^2 somem, e temos:
  • derivada de 12y^2 é 24y;
  • derivada de -2y/(y^2+1) usamos quociente ou produto:
ddyl(-2yy^2+1r)=2y^2-2(y^2+1)^2
Logo,
partial^2 fpartial y^2=24y+2y^2-2(y^2+1)^2

Resposta

partial^2 fpartial x^2=2y, partial^2 fpartial y^2=24y+2y^2-2(y^2+1)^2

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