Resolver as eq. diferenciais abaixo:
d yd x=-x^2-y^4 e^x4(ln y+y^3 e^x) y=y(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial da forma:
dydx = -x^2 - y^4 e^x4(ln y + y^3 e^x)
Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como equações exatas e fatores integrantes. Vamos dividir a solução em passos para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma maneira que facilite a análise:
dydx = -x^2 - y^4 e^x4(ln y + y^3 e^x)
Podemos reorganizar isso para:
( -x^2 - y^4 e^x )dx + 4( ln y + y^3 e^x )dy = 0
Agora, identificamos $ M(x, y) = -x^{2} - y^{4} e^{x} $ e $ N(x, y) = 4\left( \ln y + y^{3} e^{x} \right) $.

Passo 3

Vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = -4y^3 e^x
partial Npartial x = 4y^3 e^x
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação não é exata.

Passo 4

Quando a equação não é exata, tentamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de $ y $ ou de $ x $. Vamos supor que o fator integrante $ \mu(y) $ dependa de $ y $.
A condição para o fator integrante é:
y
Calculando:
x
Então:
mu(y)
Percebemos que a expressão não depende apenas de $ y $, então um fator integrante que depende só de $ y $ não existe nesse caso.

Passo 5

Como não conseguimos um fator integrante simples, vamos tentar uma substituição para simplificar a equação. Observando a equação original, notamos termos como $ \ln y $ e $ y^{3} e^{x} $. Vamos tentar a substituição:
ln y
Calculando a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
y^3 e^x
Substituímos $ \frac{dy}{dx} $ pela expressão dada na equação diferencial:
u = ln y + y^3 e^x
Isso simplifica para uma equação em termos de $ u $ e $ x $, mas ainda está complicada. Portanto, essa substituição não facilita a resolução.

Passo 6

Diante das tentativas acima, percebemos que a equação é bastante complexa e não se encaixa nas formas mais comuns de equações diferenciais que podemos resolver facilmente com métodos padrão. Nesse caso, a solução pode não ser expressa em termos de funções elementares e pode requerer métodos avançados ou soluções implícitas.

Resposta

Após tentativas de tornar a equação exata e aplicar substituições, concluímos que a solução da equação diferencial dada não pode ser expressa de forma simples usando métodos elementares. Portanto, a solução permanece em forma implícita ou requer métodos mais avançados para uma expressão explícita.

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