Determine o polinômio de Taylor de grau 6 da função
em torno de
.
Passo 1
Temos a função
e queremos o polinômio de Taylor de grau 6 em torno de
. Para isso, vamos usar a fórmula geral de Taylor e calcular as derivadas de
até a sexta no ponto
.
Passo 2
A fórmula do polinômio de Taylor de ordem
de uma função
em torno de
é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas de
e avaliando em
:
-
; -
logo ; -
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logo .
Passo 4
Os coeficientes
para
são:
-
; -
; -
; -
; -
; -
; -
.
Passo 5
Substituindo na fórmula de Taylor, o polinômio de grau 6 em torno de
fica:
Resposta
$$P_6(x)=(x-1)-\tfrac{(x-1)2}{2}+\tfrac{(x-1)3}{3}-\tfrac{(x-1)4}{4}+\tfrac{(x-1)5}{5}-\tfrac{(x-1)^6}{6}.
$$