Determine o polinômio de Taylor de grau 6 da função f(x)=ln (x) em torno de x=1.

Passo 1

Temos a função f(x)=ln(x) e queremos o polinômio de Taylor de grau 6 em torno de x=1. Para isso, vamos usar a fórmula geral de Taylor e calcular as derivadas de f até a sexta no ponto x=1.

Passo 2

A fórmula do polinômio de Taylor de ordem n de uma função f em torno de a é:
Tn(x)=sumk=0^n f^(k)(a)k!,(x-a)^k
Aqui, a=1 e n=6.

Passo 3

Calculando as derivadas de f(x)=ln(x) e avaliando em x=1:
  • f(1)=ln(1)=0;
  • f'(x)=1/x logo f'(1)=1;
  • f''(x)=-1/x^2 logo f''(1)=-1;
  • f^(3)(x)=2/x^3 logo f^(3)(1)=2;
  • f^(4)(x)=-6/x^4 logo f^(4)(1)=-6;
  • f^(5)(x)=24/x^5 logo f^(5)(1)=24;
  • f^(6)(x)=-120/x^6 logo f^(6)(1)=-120.

Passo 4

Os coeficientes ck=f^(k)(1)k! para k=0,1,dots,6 são:
  • c0=0;
  • c1=1;
  • c2=-tfrac12;
  • c3=tfrac13;
  • c4=-tfrac14;
  • c5=tfrac15;
  • c6=-tfrac16.

Passo 5

Substituindo na fórmula de Taylor, o polinômio de grau 6 em torno de x=1 fica:
P6(x)=(x-1)-(x-1)^22+(x-1)^33-(x-1)^44+(x-1)^55-(x-1)^66

Resposta

$$P_6(x)=(x-1)-\tfrac{(x-1)2}{2}+\tfrac{(x-1)3}{3}-\tfrac{(x-1)4}{4}+\tfrac{(x-1)5}{5}-\tfrac{(x-1)^6}{6}.
$$

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