Determine o polinômio de Taylor de grau
e centro
Passo 1
O enunciado pede: determinar o polinômio de Taylor de grau
e centro
da função
com
e
.
Informações dadas e o que precisamos encontrar: ,
,
. Precisamos obter o polinômio de Taylor de grau
centrado em
, ou seja, a soma dos termos até ordem
envolvendo potências de
.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Passo 2
Fórmula que vamos usar: o polinômio de Taylor de grau
de uma função
em torno de
é
Explicando cada parte:
é a
-ésima derivada de
avaliada em
;
é o fatorial de
(
,
,
,
,
); e
são as potências centradas em
. Para montar
precisamos calcular
para
.
Passo 3
Calcular as derivadas de
até a quarta ordem, mostrando como obter cada uma:
Derivada de ordem zero (a própria função):
Derivada primeira: regra básica
, logo
Derivada segunda: derivando
usando a regra do poder
:
Derivada terceira: derivando
:
Derivada quarta: derivando
:
Observação útil (padrão que aparece em provas): para
vale a fórmula geral
o que pode ser verificado por indução a partir das derivadas acima. Aqui não precisamos usar além de
, mas essa fórmula explica os sinais e os fatoriais que aparecem.
Passo 4
Avaliar cada derivada em
:
Mostre mentalmente:
,
,
; simplificações feitas acima dão os números apresentados.
Passo 5
Calcular os coeficientes
que entram no polinômio:
k=0:
k=1:
k=2:
k=3:
k=4:
Cada divisão foi feita explicitamente: por exemplo
;
;
.
Passo 6
Montar o polinômio de Taylor de grau
com centro
substituindo os coeficientes na soma
Substituindo os valores encontrados obtemos
Esse é o polinômio pedido. Dica para a prova: escreva a fórmula geral, calcule as derivadas até a ordem necessária (aqui foi só até 4) e avalie em
; depois divida por
e monte os termos em potências de
. Se precisar aproximar
perto de
, basta escolher
próximo de
e usar
.