Determine o polinômio de Taylor de grau n e centro c
f(x)=\ln x, n=4, c=2

Passo 1

O enunciado pede: determinar o polinômio de Taylor de grau n e centro c da função f(x)=\ln x com n=4 e c=2.
Informações dadas e o que precisamos encontrar: f(x)=\ln x, n=4, c=2. Precisamos obter o polinômio de Taylor de grau 4 centrado em 2, ou seja, a soma dos termos até ordem 4 envolvendo potências de (x-2).

Passo 2

Fórmula que vamos usar: o polinômio de Taylor de grau n de uma função f em torno de c é
T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}\text{(c)}}{k!}\,(x-c)^k.
Explicando cada parte: f^{(k)}\text{(c)} é a k-ésima derivada de f avaliada em x=c; k! é o fatorial de k ( 0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24); e (x-c)^k são as potências centradas em c. Para montar T_4(x) precisamos calcular f^{(k)}(2) para k=0,1,2,3,4.

Passo 3

Calcular as derivadas de f(x)=\ln x até a quarta ordem, mostrando como obter cada uma:
Derivada de ordem zero (a própria função):
f(x)=\ln x.
Derivada primeira: regra básica \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}, logo
f'(x)=\frac{1}{x}.
Derivada segunda: derivando f'(x)=x^{-1} usando a regra do poder \dfrac{d}{dx}x^{m}=m x^{m-1}:
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big)=-1\,x^{-2}=-\frac{1}{x^2}.
Derivada terceira: derivando f''(x)=-x^{-2}:
f'''(x)= -(-2)\,x^{-3}=2\,x^{-3}=\frac{2}{x^3}.
Derivada quarta: derivando f'''(x)=2x^{-3}:
f^{(4)}(x)=2(-3)\,x^{-4}=-6\,x^{-4}=-\frac{6}{x^4}.
Observação útil (padrão que aparece em provas): para k\ge 1 vale a fórmula geral
f^{(k)}(x)=(-1)^{k-1}(k-1)!\,x^{-k},
o que pode ser verificado por indução a partir das derivadas acima. Aqui não precisamos usar além de k=4, mas essa fórmula explica os sinais e os fatoriais que aparecem.

Passo 4

Avaliar cada derivada em c=2:
f(2)=\ln 2.
f'(2)=\frac{1}{2}.
f''(2)=-\frac{1}{2^2}=-\frac{1}{4}.
f'''(2)=\frac{2}{2^3}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
f^{(4)}(2)=-\frac{6}{2^4}=-\frac{6}{16}=-\frac{3}{8}.
Mostre mentalmente: 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16; simplificações feitas acima dão os números apresentados.

Passo 5

Calcular os coeficientes \dfrac{f^{(k)}(2)}{k!} que entram no polinômio:
k=0:
\frac{f(2)}{0!}=\ln 2.
k=1:
\frac{f'(2)}{1!}=\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}.
k=2:
\frac{f''(2)}{2!}=\frac{-1/4}{2}=-\frac{1}{8}.
k=3:
\frac{f'''(2)}{3!}=\frac{1/4}{6}=\frac{1}{24}.
k=4:
\frac{f^{(4)}(2)}{4!}=\frac{-3/8}{24}=-\frac{3}{192}=-\frac{1}{64}.
Cada divisão foi feita explicitamente: por exemplo -\tfrac{1}{4}\div 2=-\tfrac{1}{8}; \tfrac{1}{4}\div 6=\tfrac{1}{24}; -\tfrac{3}{8}\div 24=-\tfrac{3}{192}=-\tfrac{1}{64}.

Passo 6

Montar o polinômio de Taylor de grau 4 com centro 2 substituindo os coeficientes na soma
T_4(x)=\sum_{k=0}^{4}\frac{f^{(k)}(2)}{k!}\,(x-2)^k.
Substituindo os valores encontrados obtemos
T_4(x)=\ln 2+\frac{1}{2}(x-2)-\frac{1}{8}(x-2)^2+\frac{1}{24}(x-2)^3-\frac{1}{64}(x-2)^4.
Esse é o polinômio pedido. Dica para a prova: escreva a fórmula geral, calcule as derivadas até a ordem necessária (aqui foi só até 4) e avalie em c; depois divida por k! e monte os termos em potências de (x-c). Se precisar aproximar \ln x perto de 2, basta escolher x próximo de 2 e usar T_4(x).

Resposta

\ln 2+\frac{1}{2}(x-2)-\frac{1}{8}(x-2)^2+\frac{1}{24}(x-2)^3-\frac{1}{64}(x-2)^4

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