Determine a série de Taylor da função f com centro c
f(x)=e^{x}, c=1

Passo 1

O problema pede: determinar a série de Taylor da função f com centro c. As informações dadas são:
f(x)=e^{x},\qquad c=1.
Portanto a tarefa é escrever a expansão em série de potências de f em torno de x=1 (ou seja, em termos de (x-1)) e justificar a forma do termo geral e a convergência.

Passo 2

Apresento a fórmula geral da série de Taylor centrada em c. Para uma função suficientemente diferenciável, a série de Taylor em torno de c é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}\text{(c)}}{n!}\,(x-c)^{n}.
Explicando essa fórmula passo a passo:
  • f^{(n)}\text{(c)} significa a n-ésima derivada de f avaliada em x=c. Por exemplo, f^{(0)}\text{(c)}=f\text{(c)}, f^{(1)}\text{(c)}=f'\text{(c)}, etc.
  • n! (lê-se “ n fatorial”) é o produto n!=1\cdot2\cdot3\cdots n com 0!=1.
  • O fator (x-c)^{n} indica que a expansão é em potências de (x-c), ou seja, é uma série centrada em c.

Passo 3

Calculo as derivadas de f(x)=e^{x}. Uma propriedade fundamental de e^{x} é que todas as derivadas são iguais a e^{x}:
f^{(n)}(x)=e^{x}\quad\text{para todo }n\ge0.
Logo, avaliando em c=1,
f^{(n)}(1)=e^{1}=e\quad\text{para todo }n\ge0.

Passo 4

Substituo f^{(n)}(1) na fórmula de Taylor do Passo 2. Assim o termo geral da série fica
\frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^{n}=\frac{e}{n!}(x-1)^{n}.
Portanto a série de Taylor é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{n!}(x-1)^{n}.

Passo 5

Posso escrever a série de forma factorizada para ficar mais limpa:
f(x)=e\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^{n}}{n!}.
Também escrevo os primeiros termos explicitamente (muito útil na prova para dar os termos iniciais):
f(x)=e\left(1+(x-1)+\frac{(x-1)^{2}}{2!}+\frac{(x-1)^{3}}{3!}+\cdots\right).

Passo 6

Verifico a convergência (importante para garantir que a série realmente representa e^{x} para todos os x). Use o teste da razão no termo a_{n}=\dfrac{e}{n!}(x-1)^{n}:
\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}=\frac{\dfrac{e}{(n+1)!}|x-1|^{\,n+1}}{\dfrac{e}{n!}|x-1|^{\,n}}=\frac{|x-1|}{n+1}.
Tomando o limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{|x-1|}{n+1}=0.
Como o limite é 0<1 para todo x, a série converge para todo x (raio de convergência infinito). Podemos também controlar o resto de Taylor por desigualdade usando o fato de que as derivadas são e^{\xi}\le M em qualquer intervalo compacto; no caso global a rápida queda de (N+1)! garante que o resto tende a zero. Em resumo: a série converge e representa e^{x} para todo x.

Passo 7

Dica prática para prova: ao precisar dos primeiros termos, escreva diretamente
e^{x}\approx e\left(1+(x-1)+\frac{(x-1)^{2}}{2!}+\cdots+\frac{(x-1)^{N}}{N!}\right)
e estime o erro pelo próximo termo dividido por (N+1) (ou pelo resto de Lagrange se pedirem precisão rigorosa). Um exemplo rápido de verificação: para x=0 a série dá e\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!}=e\cdot e^{-1}=1, que é e^{0}, OK.

Resposta

e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{n!}(x-1)^{n}=e\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^{n}}{n!}.

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