Determine a série de Taylor da função
com centro
Passo 1
O problema pede: determinar a série de Taylor da função
com centro
. As informações dadas são:
Portanto a tarefa é escrever a expansão em série de potências de
em torno de
(ou seja, em termos de
) e justificar a forma do termo geral e a convergência.
Passo 2
Apresento a fórmula geral da série de Taylor centrada em
. Para uma função suficientemente diferenciável, a série de Taylor em torno de
é
Explicando essa fórmula passo a passo:
-
significa a -ésima derivada de avaliada em . Por exemplo, , , etc. -
(lê-se “ fatorial”) é o produto com . - O fator
indica que a expansão é em potências de , ou seja, é uma série centrada em .
Passo 3
Calculo as derivadas de
. Uma propriedade fundamental de
é que todas as derivadas são iguais a
:
Logo, avaliando em
,
Passo 4
Substituo
na fórmula de Taylor do Passo 2. Assim o termo geral da série fica
Portanto a série de Taylor é
Passo 5
Posso escrever a série de forma factorizada para ficar mais limpa:
Também escrevo os primeiros termos explicitamente (muito útil na prova para dar os termos iniciais):
Passo 6
Verifico a convergência (importante para garantir que a série realmente representa
para todos os
). Use o teste da razão no termo
:
Tomando o limite quando
,
Como o limite é
para todo
, a série converge para todo
(raio de convergência infinito). Podemos também controlar o resto de Taylor por desigualdade usando o fato de que as derivadas são
em qualquer intervalo compacto; no caso global a rápida queda de
garante que o resto tende a zero. Em resumo: a série converge e representa
para todo
.
Passo 7
Dica prática para prova: ao precisar dos primeiros termos, escreva diretamente
e estime o erro pelo próximo termo dividido por
(ou pelo resto de Lagrange se pedirem precisão rigorosa). Um exemplo rápido de verificação: para
a série dá
, que é
, OK.