Determine o polinômio de Taylor como indicado a seguir:
(b) g(x)=cos (x)+sen(x), em torno de x=0, de grau n=5.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o polinômio de Taylor de grau n=5 de
g(x)=cos(x)+sin(x)
em torno de x=0. Vamos usar as séries de Maclaurin (Taylor em torno de zero) de cos(x) e sin(x) e truncar no grau indicado.

Passo 2

Lembrando que
cos(x)=sumk=0^infty(-1)^kx^2k(2k)!
e
sin(x)=sumk=0^infty(-1)^kx^2k+1(2k+1)!,
podemos extrair os termos até grau 5.

Passo 3

Escrevendo explicitamente até o grau 5, temos
cos(x)=1-x^22!+x^44!+dots
sin(x)=x-x^33!+x^55!+dots

Passo 4

Somando termo a termo e mantendo apenas até grau 5,
g(x)=cos(x)+sin(x) =l(1-x^22!+x^44!r) +l(x-x^33!+x^55!r)
Logo,
g(x)=1+x-x^22-x^36+x^424+x^5120

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 5 de g(x) em torno de x=0 é
P5(x)=1+x-x^22-x^36+x^424+x^5120

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