(Volume máximo de uma caixa) Um papelão quadrado com
de área, deve ser transformado em uma caixa sem tampa. Para isso, devemos cortar nos quatro cantos do papelão um quadrado de lado x e dobrar a parte do papelão que sobrou. Determine a medida
do lado de cada quadrado menor que será retirado do papelão de forma que o volume da caixa seja o maior possível.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um papel~ao quadrado de
que ser’a transformado em uma caixa sem tampa, cortando quadrados de lado
em cada canto e dobrando as abas. O conte’udo envolvido 'e otimiza\c{c}~ao de uma fun\c{c}~ao (volume) usando derivadas.
Passo 2
Como o papelão é quadrado, seu lado
satisfaz
logo
Após cortarmos quadrados de lado
em cada canto, as dimensões da base ficam
e a altura é
.
Passo 3
O volume da caixa como função de
vale
O domínio físico de
é
Passo 4
Para encontrar o máximo, calculamos a derivada:
Igualando a zero:
Resolvendo a equação quadrática:
ou seja,
ou
.
Passo 5
Em
o volume cai a zero (base nula), portanto o único valor interior que realmente maximiza
é
Resposta
A medida que maximiza o volume da caixa sem tampa é
.