(Volume máximo de uma caixa) Um papelão quadrado com 3600 cm^2 de área, deve ser transformado em uma caixa sem tampa. Para isso, devemos cortar nos quatro cantos do papelão um quadrado de lado x e dobrar a parte do papelão que sobrou. Determine a medida x do lado de cada quadrado menor que será retirado do papelão de forma que o volume da caixa seja o maior possível.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um papel~ao quadrado de 'area ; 3600 cm^2 que ser’a transformado em uma caixa sem tampa, cortando quadrados de lado x em cada canto e dobrando as abas. O conte’udo envolvido 'e otimiza\c{c}~ao de uma fun\c{c}~ao (volume) usando derivadas.

Passo 2

Como o papelão é quadrado, seu lado s satisfaz
s^2 = 3600
logo
s = 60 cm
Após cortarmos quadrados de lado x em cada canto, as dimensões da base ficam (s - 2x)times(s - 2x) e a altura é x.

Passo 3

O volume da caixa como função de x vale
V(x) = x,(60 - 2x)^2
O domínio físico de x é
0 < x < 30

Passo 4

Para encontrar o máximo, calculamos a derivada:
V'(x) = ddxl[x(60 - 2x)^2r] = 3600 - 480x + 12x^2
Igualando a zero:
12x^2 - 480x + 3600 = 0 Longrightarrow x^2 - 40x + 300 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x = 40 pm raiz40^2 - 4cdot3002 = 40 pm 202,
ou seja, x = 10 ou x = 30.

Passo 5

Em x = 30 o volume cai a zero (base nula), portanto o único valor interior que realmente maximiza V é
x = 10 cm

Resposta

A medida que maximiza o volume da caixa sem tampa é x = 10 cm.

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