Determine o polinômio de Taylor como indicado a seguir:
(a) f(x)=x1+x^2, em torno de x=0, de grau n=6.

Passo 1

Estamos buscando o polinômio de Taylor (Maclaurin) de grau n=6 para a função
f(x) = x1 + x^2
em torno de x=0. Para isso, vamos usar a série de potências conhecida de 11+u e depois multiplicar por x.

Passo 2

Lembrando que, para lvert urvert<1, vale
11+u = sumk=0^infty(-1)^k u^k
Aqui temos u = x^2, logo
11 + x^2 = sumk=0^infty(-1)^k x^2k

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x para obter f(x):
f(x) = x1 + x^2 = x sumk=0^infty(-1)^k x^2k = sumk=0^infty(-1)^k x^2k+1

Passo 4

Para o polinômio de grau 6, mantemos todos os termos até a potência x^6. Na série só aparecem potências ímpares, então pegamos os termos com 2k+1 <= 6, isto é, k=0,1,2:
k=0 implies x^1, k=1 implies -,x^3, k=2 implies x^5
O próximo termo seria -x^7, que já ultrapassa o grau 6 e, portanto, é desprezado.

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 6 em torno de x=0 é
P6(x) = x ;-; x^3 ;+; x^5

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