Q4. Escolha
e determine se a série
é convergente ou divergente. Se possível, determine a soma da série.
Passo 1
O enunciado dá a série
em que
e
são inteiros com
. O objetivo é decidir para quais valores de
essa série converge ou diverge e, quando converge, achar sua soma em função de
e
. Vamos usar teste da razão para a convergência e depois decompor em séries conhecidas para obter a soma.
Passo 2
Aplicando o teste da razão, consideramos o termo geral
.
Então
Então
Para
,
, de modo que
Logo, pelo teste da razão, a série converge se e somente se
, isto é, se
. Para
temos
e a série diverge (os termos não tendem a zero).
Passo 3
Para
, escrevemos a série como soma de duas:
Passo 4
Recordando duas séries geométricas conhecidas para
:
aqui usamos
. Então
Passo 5
Substituindo em
,
obtemos
obtemos
Resposta
A série diverge para
.
Para converge, e sua soma é
Para