Q4. Escolha 1 <= M, P <= 9 e determine se a série
sumn=1^infty M n+1P^n
é convergente ou divergente. Se possível, determine a soma da série.

Passo 1

O enunciado dá a série
sumn=1^inftyM,n+1P^n,
em que M e P são inteiros com 1<= M,P<=9. O objetivo é decidir para quais valores de P essa série converge ou diverge e, quando converge, achar sua soma em função de M e P. Vamos usar teste da razão para a convergência e depois decompor em séries conhecidas para obter a soma.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, consideramos o termo geral
an=M,n+1P^n.
Então
an+1an =l[M(n+1)+1r]/P^,n+1(M,n+1)/P^,n =M(n+1)+1M,n+1cdot1P
Para ntoinfty, l(M(n+1)+1r)/(M,n+1)to1, de modo que
limntoinftyan+1an =1P
Logo, pelo teste da razão, a série converge se e somente se tfrac1P<1, isto é, se P>1. Para P=1 temos an=M,n+1 e a série diverge (os termos não tendem a zero).

Passo 3

Para P>=2, escrevemos a série como soma de duas:
sumn=1^inftyM,n+1P^n =Msumn=1^inftynP^n +sumn=1^infty1P^n

Passo 4

Recordando duas séries geométricas conhecidas para |a|<1:
sumn=1^inftya^n =a1-a, sumn=1^inftyn,a^n =a(1-a)^2,
aqui usamos a=1/P. Então
sumn=1^infty1P^n =tfrac1P1-tfrac1P =1P-1,
sumn=1^inftynP^n =tfrac1Pl(1-tfrac1Pr)^2 =P(P-1)^2

Passo 5

Substituindo em
Msumn=1^inftynP^n+sumn=1^infty1P^n,
obtemos
McdotP(P-1)^2 +1P-1 =M,P(P-1)^2 +1P-1 =M,P+(P-1)(P-1)^2 =M,P+P-1(P-1)^2

Resposta

A série diverge para P=1.
Para 2<= P<=9 converge, e sua soma é
sumn=1^inftyM,n+1P^n =M,P+P-1(P-1)^2

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