Resolva as EDO’s
d zd x-x z=-x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
dzdx-x,z=-x
e pede a solução geral. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é indicado sempre que a EDO puder ser escrita na forma
dzdx+p(x),z=q(x)

Passo 2

Colocando a equação no formato padrão, identificamos
p(x)=-x, q(x)=-x
O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x)=expl(integral p(x),dxr) =expl(integral -x,dxr) =expl(-tfracx^22r)

Passo 3

Multiplicamos a EDO original por mu(x). Isso transforma o lado esquerdo na derivada do produto mu(x),z(x):
ddxl(mu(x),z(x)r) =mu(x),dzdx+mu'(x),z =mu(x),dzdx+p(x),mu(x),z
Logo obtemos
ddxl(e^-x^2/2,zr) =-x,e^-x^2/2

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^-x^2/2,z(x) =integral -x,e^-x^2/2,dx
Como ddxl(e^-x^2/2r)=-x,e^-x^2/2, a integral é
integral -x,e^-x^2/2,dx =e^-x^2/2+C
Portanto
e^-x^2/2,z(x)=e^-x^2/2+C

Passo 5

Para encontrar z(x), basta dividir por e^-x^2/2:
z(x) =e^-x^2/2+Ce^-x^2/2 =1+C,e^x^2/2

Resposta

A solução geral da equação é
z(x)=1+C,e^x^2/2,
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados