Temos uma rede usando protocolo ALOHA puro com 100 estações. Se T_{\mathrm{fr}}=1 \mu \mathrm{~s}, qual é o número de frames/s que cada estação pode transmitir para atingir a eficiência máxima?

Passo 1

O enunciado pede: “qual é o número de frames/s que cada estação pode transmitir para atingir a eficiência máxima?”
Dados fornecidos:
  • Número de estações: N=100.
  • Tempo de transmissão de um frame: T_{\mathrm{fr}}=1\\ \mu\mathrm{s}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Explicando o que é necessário: em ALOHA puro define-se o carregamento oferecido (offered load) por G, que é o número médio de tentativas de transmissão por intervalo de duração de um frame (por unidade de tempo normalizada por T_{\mathrm{fr}}). Ou seja, se cada estação tenta transmitir em média \lambda frames por segundo, o total de tentativas por segundo é N\lambda e o carregamento por tempo de frame é
G = N\lambda T_{\mathrm{fr}}.
A taxa de sucesso (throughput) em frames por intervalo de tempo igual a T_{\mathrm{fr}} é dada, para ALOHA puro, por
S(G)=G e^{-2G}.
Pequena justificativa intuitiva: o período vulnerável de colisão no ALOHA puro tem duração 2T_{\mathrm{fr}}, o que leva ao fator e^{-2G} como probabilidade de não ocorrerem outras transmissões na janela vulnerável; multiplicando pela taxa de tentativas G obtém-se o throughput.

Passo 3

Para maximizar a eficiência (ou seja, maximizar S(G) em função de G) calculamos o ponto ótimo:
\frac{dS}{dG} = e^{-2G}(1-2G)=0 \quad\Rightarrow\quad 1-2G=0.
Logo o G que maximiza é
G_{\text{opt}}=\tfrac{1}{2}.
O throughput máximo por tempo de frame é
S_{\max}=G_{\text{opt}}e^{-2G_{\text{opt}}}=\tfrac{1}{2}e^{-1}=\frac{1}{2e}\approx0{,}1839\\ \text{(frames por }T_{\mathrm{fr}}\text{)}.

Passo 4

Agora relacionamos G_{\text{opt}} com a taxa por estação \lambda. Usando
G_{\text{opt}}=N\lambda T_{\mathrm{fr}},
isolamos \lambda:
\lambda=\frac{G_{\text{opt}}}{N T_{\mathrm{fr}}}.
Substituindo os valores numéricos:
N T_{\mathrm{fr}}=100\cdot 1\times10^{-6}=1\times10^{-4},
\lambda=\frac{1/2}{1\times10^{-4}}=\frac{0{,}5}{1\times10^{-4}}=5000.
Portanto cada estação deve tentar transmitir, em média, \lambda=5000 frames por segundo para que o sistema opere com o G ótimo.

Passo 5

Interpretações úteis (pequena consolidação didática, para você levar pra prova):
  • Tentativas por estação: \lambda=5000\\ \text{frames/s} (resultado principal).
  • Taxa total de tentativas no canal: N\lambda=100\cdot5000=5\times10^{5}\\ \text{tentativas/s}.
  • Throughput total de frames bem-sucedidos por segundo:
S_{\text{total}}=\frac{S_{\max}}{T_{\mathrm{fr}}}=\frac{1/(2e)}{1\times10^{-6}}\approx1{,}83939\times10^{5}\\ \text{frames/s}.
  • Sucesso médio por estação (frames/s que realmente passam): \dfrac{S_{\text{total}}}{N}\approx1839{,}39\\ \text{frames/s}.
  • Probabilidade de sucesso de uma tentativa é e^{-2G_{\text{opt}}}=e^{-1}\approx0{,}3679, ou seja, cerca de 36{,}8\% das tentativas são bem-sucedidas no ponto ótimo — por isso cada estação tenta 5000 e consegue cerca de 1839 efetivas.
Força aí — com essa conta você já sabe quanto cada estação deve tentar transmitir para o sistema ficar no ponto ótimo!

Resposta

5000\\ \text{frames/s}

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