Determine o intervalo de validade da solução para o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeiro grau com uma condição inicial. Nosso objetivo aqui é encontrar o intervalo de validade da solução dessa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como identificar onde a solução faz sentido.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para o formato padrão de equações diferenciais lineares, que é:
Na nossa equação:
Dividindo tudo por $ t^{2} - 4 $, temos:
Aqui, identificamos $ P(t) = \frac{t}{t^{2} - 4} $ e $ Q(t) = \frac{1}{(t - 3)(t^{2} - 4)} $.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Vamos calcular a integral de $ P(t) $:
Aqui, fazemos uma substituição simples: seja $ u = t^{2} - 4 $, então $ du = 2t dt $, ou seja, $ \frac{du}{2} = t dt $. Substituindo, a integral fica:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \sqrt{t^{2} - 4} $:
O lado esquerdo agora se torna a derivada do produto $ \mu(t) y $:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
Simplificando o lado esquerdo:
Essa integral pode ser complicada, mas o importante para determinar o intervalo de validade é identificar onde a solução existe.
Passo 6
Para que a solução seja válida, precisamos que o fator integrante e os termos da equação estejam definidos e contínuos. Analisando $ \mu(t) = \sqrt{t^{2} - 4} $, vemos que:
- $ t^{2} - 4 > 0 $ para $ t > 2 $ ou $ t < -2 $
- O denominador $ t - 3 $ não pode ser zero, então $ t \neq 3 $
Além disso, o ponto inicial é $ t = 1 $, que está entre $ -2 $ e $ 2 $, mas $ t^{2} - 4 = 1 - 4 = -3 $, o que não está no domínio de $ \mu(t) $. Isso indica que pode haver um erro, pois o ponto inicial deve estar no domínio da solução.
Resposta
Após revisar, percebemos que o ponto inicial $ t = 1 $ não está no domínio onde a solução é válida ($ t > 2 $ ou $ t < -2 $). Portanto, não existe um intervalo de validade que inclui $ t = 1 $ para a solução desse problema de valor inicial.