Determine o intervalo de validade da solução para o seguinte problema de valor inicial:
(t^2-4) y^prime+t y=1t-3, y(1)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeiro grau com uma condição inicial. Nosso objetivo aqui é encontrar o intervalo de validade da solução dessa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como identificar onde a solução faz sentido.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para o formato padrão de equações diferenciais lineares, que é:
y' + P(t) y = Q(t)
Na nossa equação:
(t^2-4) y^prime + t y = 1t-3
Dividindo tudo por $ t^{2} - 4 $, temos:
t^2 - 4
Aqui, identificamos $ P(t) = \frac{t}{t^{2} - 4} $ e $ Q(t) = \frac{1}{(t - 3)(t^{2} - 4)} $.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
mu(t)
Vamos calcular a integral de $ P(t) $:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Aqui, fazemos uma substituição simples: seja $ u = t^{2} - 4 $, então $ du = 2t dt $, ou seja, $ \frac{du}{2} = t dt $. Substituindo, a integral fica:
P(t)
Então, o fator integrante é:
integral tt^2 - 4 dt

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \sqrt{t^{2} - 4} $:
raizt^2 - 4
O lado esquerdo agora se torna a derivada do produto $ \mu(t) y $:
raizt^2 - 4 cdot y' + traizt^2 - 4 y = raizt^2 - 4(t - 3)(t^2 - 4)

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
t
Simplificando o lado esquerdo:
integral ddt ( raizt^2 - 4 cdot y ) dt = integral raizt^2 - 4(t - 3)(t^2 - 4) dt
Essa integral pode ser complicada, mas o importante para determinar o intervalo de validade é identificar onde a solução existe.

Passo 6

Para que a solução seja válida, precisamos que o fator integrante e os termos da equação estejam definidos e contínuos. Analisando $ \mu(t) = \sqrt{t^{2} - 4} $, vemos que:
  • $ t^{2} - 4 > 0 $ para $ t > 2 $ ou $ t < -2 $
  • O denominador $ t - 3 $ não pode ser zero, então $ t \neq 3 $
Além disso, o ponto inicial é $ t = 1 $, que está entre $ -2 $ e $ 2 $, mas $ t^{2} - 4 = 1 - 4 = -3 $, o que não está no domínio de $ \mu(t) $. Isso indica que pode haver um erro, pois o ponto inicial deve estar no domínio da solução.

Resposta

Após revisar, percebemos que o ponto inicial $ t = 1 $ não está no domínio onde a solução é válida ($ t > 2 $ ou $ t < -2 $). Portanto, não existe um intervalo de validade que inclui $ t = 1 $ para a solução desse problema de valor inicial.

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