Usando a convolução, calcule a transformada inversa das seguintes funções:
c) mathscrL^-1[s(s^2+a^2)^2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace usando convolução. A questão pede para encontrar mathscrL^-1[s(s^2+a^2)^2]. Aqui, a matéria envolvida é Transformada de Laplace e a técnica que vamos usar é a convolução. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar a convolução no domínio de Laplace e algumas propriedades básicas das transformadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do teorema da convolução para transformadas de Laplace. Esse teorema diz que se temos duas funções, digamos F(s) e G(s), então a transformada inversa do produto delas é a convolução das transformadas inversas individuais:
mathscrL^-1[F(s)G(s)](t) = f(t) * g(t) = integral0^t f(tau) g(t - tau) , dtau
Então, para usar a convolução, precisamos identificar F(s) e G(s) tal que F(s)G(s) = s(s^2+a^2)^2.

Passo 3

Vamos decompôr a fração dada em um produto de duas funções mais simples. Observando s(s^2+a^2)^2, podemos escrever:
s(s^2+a^2)^2 = 1s^2+a^2 cdot ss^2+a^2
Aqui, escolhemos F(s) = 1s^2+a^2 e G(s) = ss^2+a^2.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de F(s) e G(s) individualmente.
  • Para F(s) = 1s^2+a^2, sabemos que: mathscrL^-1[1s^2+a^2] = sin(a t)a
  • Para G(s) = ss^2+a^2, sabemos que: mathscrL^-1[ss^2+a^2] = cos(a t)

Passo 5

Com as transformadas inversas encontradas, aplicamos o teorema da convolução:
mathscrL^-1[1s^2+a^2 cdot ss^2+a^2] = (sin(a tau)a) * cos(a (t - tau))
Isso resulta em uma integral de convolução:
integral0^t sin(a tau)a cdot cos(a (t - tau)) , dtau

Passo 6

Vamos resolver a integral. Primeiro, simplificamos a expressão:
1a integral0^t sin(a tau) cos(a t - a tau) , dtau
Usando a identidade trigonométrica:
sin(A)cos(B) = 12 [sin(A+B) + sin(A-B)]
Aplicamos isso na integral:
12a integral0^t [sin(a t) + sin(2a tau - a t)] , dtau
Integrando termo a termo:
sin(a t)2a cdot t + 12a [ -cos(2a tau - a t)2a ]0^t
Simplificando os limites da integral:
t sin(a t)2a - cos(a t)4a^2 + 14a^2

Resposta

A transformada inversa é:
mathscrL^-1[s(s^2+a^2)^2] = t sin(a t)2a - cos(a t)4a^2 + 14a^2

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