Usando a convolução, calcule a transformada inversa das seguintes funções:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace usando convolução. A questão pede para encontrar
. Aqui, a matéria envolvida é Transformada de Laplace e a técnica que vamos usar é a convolução. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar a convolução no domínio de Laplace e algumas propriedades básicas das transformadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do teorema da convolução para transformadas de Laplace. Esse teorema diz que se temos duas funções, digamos
e
, então a transformada inversa do produto delas é a convolução das transformadas inversas individuais:
Então, para usar a convolução, precisamos identificar
e
tal que
.
Passo 3
Vamos decompôr a fração dada em um produto de duas funções mais simples. Observando
, podemos escrever:
Aqui, escolhemos
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de
e
individualmente.
- Para
, sabemos que: - Para
, sabemos que:
Passo 5
Com as transformadas inversas encontradas, aplicamos o teorema da convolução:
Isso resulta em uma integral de convolução:
Passo 6
Vamos resolver a integral. Primeiro, simplificamos a expressão:
Usando a identidade trigonométrica:
Aplicamos isso na integral:
Integrando termo a termo:
Simplificando os limites da integral:
Resposta
A transformada inversa é: