Obtenha o valor das integrais de linhas:
para o campo vetorial
e curva parametrizada
, com
;
para o campo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de linha para o campo vetorial
ao longo da curva parametrizada
com
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a definição de integral de linha para campos vetoriais. Precisamos parametrizar a curva, calcular a derivada de
, e depois aplicar a fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva
. Aqui,
varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Essa derivada nos dá o vetor tangente à curva em cada ponto.
Passo 4
A fórmula da integral de linha para um campo vetorial
ao longo de uma curva parametrizada por
de
a
é:
Vamos aplicar isso ao nosso caso.
Passo 5
Primeiro, substituímos
em
:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Calculando cada integral separadamente:
Passo 8
Somando as duas integrais:
Resposta
O valor da integral de linha é
.