Obtenha o valor das integrais de linhas:
para o campo vetorial F(x, y, z)=(x+y+z) k e curva parametrizada r(t)=(t, t,-t^2), com 0 <= t <= 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha para o campo vetorial ao longo da curva parametrizada com . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a definição de integral de linha para campos vetoriais. Precisamos parametrizar a curva, calcular a derivada de , e depois aplicar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva . Aqui, varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de r'(t) = (ddt(t), ddt(t), ddt(-t^2)) = (1, 1, -2t) em relação a :
Essa derivada nos dá o vetor tangente à curva em cada ponto.

Passo 4

A fórmula da integral de linha para um campo vetorial integralC F cdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r'(t) , dt ao longo de uma curva parametrizada por de a é:
Vamos aplicar isso ao nosso caso.

Passo 5

Primeiro, substituímos F(r(t)) = F(t, t, -t^2) = (t + t + (-t^2)) k = (2t - t^2) k em :

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t) = (2t - t^2) k cdot (1, 1, -2t) = (2t - t^2)(-2t) = -2t(2t - t^2) = -4t^2 + 2t^3 :

Passo 7

Agora, integramos essa expressão de integral0^1 (-4t^2 + 2t^3) , dt = integral0^1 -4t^2 , dt + integral0^1 2t^3 , dt a integral0^1 -4t^2 , dt = -4 [ t^33 ]0^1 = -4 ( 13 - 0 ) = -43 :
integral0^1 2t^3 , dt = 2 [ t^44 ]0^1 = 2 ( 14 - 0 ) = 24 = 12
Calculando cada integral separadamente:

Passo 8

Somando as duas integrais:
-43 + 12 = -86 + 36 = -56

Resposta

O valor da integral de linha é .

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