Utilizando dos seus conhecimentos em física e operações vetoriais, demostre e explique a Primeira lei de Kepler (lei das órbitas). Para isso, utilize de parâmetros como momento angular e trajetória.

Passo 1

Beleza! Então, temos que demonstrar e explicar a Primeira Lei de Kepler, que fala sobre as órbitas dos planetas. Essa lei diz que os planetas se movem em trajetórias elípticas ao redor do Sol. Para isso, vamos usar conceitos de física como momento angular e trajetória, além de operações vetoriais. Vamos precisar entender como o momento angular se conserva e como isso influencia a forma da órbita.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre momento angular. O momento angular ( L = r times p ) de um objeto em movimento é dado pelo produto vetorial da posição ( ) e do momento linear ( ):
No caso de um planeta orbitando o Sol, , onde é a massa do planeta e é sua velocidade.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que quando a força que atua sobre o planeta é central (isto é, sempre direcionada para o Sol), o torque ( tau = r times F ) em relação ao Sol é zero. O torque é dado por:
Como é paralelo a , o produto vetorial é zero, ou seja, . Isso significa que o momento angular é conservado ao longo do movimento.

Passo 4

Com o momento angular conservado, sabemos que o movimento do planeta está restrito a um plano. Isso é porque aponta perpendicularmente a esse plano e não muda de direção. Portanto, a trajetória do planeta é plana, o que simplifica nossa análise.

Passo 5

Vamos agora usar a conservação do momento angular para relacionar a velocidade do planeta com sua distância ao Sol. A magnitude do momento angular é:
L = m r vperp
Onde r vperp = constante é a componente da velocidade perpendicular a . Como é constante, temos:
Isso nos mostra que quando o planeta está mais próximo do Sol ( pequeno), sua velocidade perpendicular ( ) é maior, e vice-versa. Essa relação é fundamental para determinar a forma da órbita.

Passo 6

Para descobrir a forma da órbita, usamos as leis de Newton e derivamos a equação do movimento. Considerando a força central que age como a lei da gravitação universal:
F = -G M mr^2 r
Onde é a constante gravitacional, a massa do Sol, e é o vetor unitário na direção de .

Passo 7

Resolvendo as equações de movimento com essa força central, encontramos que a trajetória satisfaz uma equação de uma cônica. Dependendo das condições iniciais, a solução pode ser uma elipse, parábola ou hipérbole.

Passo 8

No caso das órbitas planetárias, que são ligadas e fechadas, a solução é uma elipse. Portanto, a trajetória do planeta ao redor do Sol é uma elipse com o Sol em um dos focos.

Resposta

Assim, demonstramos que, devido à conservação do momento angular e à força central gravitacional, a trajetória de um planeta ao redor do Sol é uma elipse, confirmando a Primeira Lei de Kepler.

Exercícios relacionados