Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística
Profª Dra. Rosane Gomes Pereira rosanegope@ufg.br
Aluno: Matrícula:
202206080
ATIVIDADE AVALIATIVA 2 - CÅLCULO 3A
(2,5) Utilizando o Teorema de Green, calcule a área da região cuja fronteira é o paralelogramo com vértices em A(-1,0), B(2,-1), C(3,1) e D(0,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região delimitada por um paralelogramo cujos vértices são A(−1,0), B(2,−1), C(3,1) e D(0,2) usando o Teorema de Green. O conteúdo da matéria é cálculo de área através de integrais de linha, precisaremos converter ∬_R 1 dA em ∮_C alguma forma de P dx+Q dy.

Passo 2

O Teorema de Green diz que para uma região R de fronteira C orientada positivamente,
integral duplaR l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA=ointC P,dx+Q,dy
Para calcular área usamos a escolha P=−y/2 e Q=x/2, pois assim
partial Qpartial x-partial Ppartial y=1

Passo 3

Logo a área fica
A=integral duplaR1,dA=ointCP,dx+Q,dy=12ointC(x,dy-y,dx)

Passo 4

Agora vamos calcular ointC(x,dy-y,dx) percorrendo C no sentido anti-horário pelos segmentos AB, BC, CD e DA.
Para o segmento AB de A(−1,0) a B(2,−1), parametricamente:
x(t)=-1+3t, y(t)=-t, tin[0,1],
dx=3,dt, dy=-,dt,
x,dy-y,dx = (-1+3t)(-dt)-(-t)(3,dt)=1,dt,
integralAB(x,dy-y,dx)=integral0^1 1,dt=1

Passo 5

Para o segmento BC de B(2,−1) a C(3,1), usamos:
x(t)=2+t, y(t)=-1+2t, tin[0,1],
dx=dt, dy=2,dt,
x,dy-y,dx=(2+t)(2dt)-(-1+2t)(dt)=5,dt,
integralBC(x,dy-y,dx)=integral0^1 5,dt=5

Passo 6

Para o segmento CD de C(3,1) a D(0,2), usamos:
x(t)=3-3t, y(t)=1+t, tin[0,1],
dx=-3,dt, dy=dt,
x,dy-y,dx=(3-3t)(dt)-(1+t)(-3dt)=6,dt,
integralCD(x,dy-y,dx)=integral0^1 6,dt=6

Passo 7

Para o segmento DA de D(0,2) a A(−1,0), usamos:
x(t)= -t, y(t)=2-2t, tin[0,1],
dx=-,dt, dy=-2,dt,
x,dy-y,dx=(-t)(-2dt)-(2-2t)(-dt)=2,dt,
integralDA(x,dy-y,dx)=integral0^1 2,dt=2

Passo 8

Somando todas as parcelas de x,dy-y,dx temos 1+5+6+2=14 e portanto
A=12times14=7

Resposta

7

Exercícios relacionados