Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, ao redor do ponto (x0, y0) dado.
f(x, y)=x^3+2 x^2 y+3 y^3+x-y-x^2+4 y, (x0, y0)=(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função $ f(x, y) = x^{3} + 2x^{2}y + 3y^{3} + x - y - x^{2} + 4y $ em torno do ponto f(x, y) = x^3 + 2x^2y + 3y^3 + x - y - x^2 + 4y . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a expansão de Taylor para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como construir o polinômio de Taylor de segunda ordem para duas variáveis. A fórmula geral é:
P2(x, y) = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0) + 12[ fxx(x0, y0)(x - x0)^2 + 2fxy(x0, y0)(x - x0)(y - y0) + fyy(x0, y0)(y - y0)^2 ]
Vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função $ f $ no ponto f .

Passo 3

Vamos começar calculando a função no ponto (1, 1):
f(1, 1) = (1)^3 + 2(1)^2(1) + 3(1)^3 + 1 - 1 - (1)^2 + 4(1) = 1 + 2 + 3 + 1 - 1 - 1 + 4 = 9

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
fx = partial fpartial x = 3x^2 + 4xy + 1 - 2x
fy = partial fpartial y = 2x^2 + 9y^2 - 1 + 4
Avaliar no ponto (1, 1):
fx(1, 1) = 3(1)^2 + 4(1)(1) + 1 - 2(1) = 3 + 4 + 1 - 2 = 6
fy(1, 1) = 2(1)^2 + 9(1)^2 - 1 + 4 = 2 + 9 - 1 + 4 = 14

Passo 5

Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x + 4y - 2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 4x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 18y
Avaliar no ponto (1, 1):
fxx(1, 1) = 6(1) + 4(1) - 2 = 6 + 4 - 2 = 8
fxy(1, 1) = 4(1) = 4
fyy(1, 1) = 18(1) = 18

Passo 6

Agora que temos todos os valores necessários, vamos montar o polinômio de Taylor de ordem 2:
P2(x, y) = 9 + 6(x - 1) + 14(y - 1) + 12[ 8(x - 1)^2 + 2 cdot 4(x - 1)(y - 1) + 18(y - 1)^2 ]
Simplificando os termos:
P2(x, y) = 9 + 6(x - 1) + 14(y - 1) + 4(x - 1)^2 + 4(x - 1)(y - 1) + 9(y - 1)^2

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada em torno do ponto (1, 1) é:
P2(x, y) = 9 + 6(x - 1) + 14(y - 1) + 4(x - 1)^2 + 4(x - 1)(y - 1) + 9(y - 1)^2

Exercícios relacionados