Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, ao redor do ponto
dado.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função $ f(x, y) = x^{3} + 2x^{2}y + 3y^{3} + x - y - x^{2} + 4y $ em torno do ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a expansão de Taylor para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como construir o polinômio de Taylor de segunda ordem para duas variáveis. A fórmula geral é:
Vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função $ f $ no ponto
.
Passo 3
Vamos começar calculando a função no ponto
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
Avaliar no ponto
:
Passo 5
Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem:
Avaliar no ponto
:
Passo 6
Agora que temos todos os valores necessários, vamos montar o polinômio de Taylor de ordem 2:
Simplificando os termos:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada em torno do ponto
é: