Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
a) ( )
com p primo, é um grupo abeliano
b) ( ) O grupo multiplicativo (
é cíclico
c) ( ) Se G é um grupo de ordem 21, então existe um elemento
que possui ordem 5
d) ()Se H e K são subgrupos de um grupo G , então
é um subgrupo
e) ()Todo grupo G de ordem menor ou igual a 5 é abeliano
f) ( ) Todo grupo possui um subgrupo abeliano
g) ( ) Se G é um grupo cíclico de ordem 6, gerado por a, então
h) ( ) Se G é um grupo de ordem 4 que possui mais de um elemento de ordem 2, ele é cíclico
i) ( )
é gerador de
j) ( ) Se
um grupo, então
k) ( )
não é subgrupo de
l) ( ) Todo grupo de ordem 5 é cíclico
a) ( )
b) ( ) O grupo multiplicativo (
c) ( ) Se G é um grupo de ordem 21, então existe um elemento
d) ()Se H e K são subgrupos de um grupo G , então
e) ()Todo grupo G de ordem menor ou igual a 5 é abeliano
f) ( ) Todo grupo possui um subgrupo abeliano
g) ( ) Se G é um grupo cíclico de ordem 6, gerado por a, então
h) ( ) Se G é um grupo de ordem 4 que possui mais de um elemento de ordem 2, ele é cíclico
i) ( )
j) ( ) Se
k) ( )
l) ( ) Todo grupo de ordem 5 é cíclico
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Teoria de Grupos onde precisamos decidir se cada uma das afirmações de a) a l) é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de grupos, como grupos abelianos, grupos cíclicos, subgrupos, ordens de grupos e elementos, e propriedades de grupos específicos como
e
. Vamos analisar cada afirmação uma por uma para chegar nas respostas.
Passo 2
a)
com
primo, é um grupo abeliano
Aqui,
representa os inteiros módulo
, e o operador
indica a multiplicação. Para
primo,
com multiplicação forma um grupo apenas se excluirmos o elemento 0, ou seja,
. Se considerarmos todo
, não é um grupo porque 0 não tem inverso multiplicativo. Além disso, multiplicação em
é comutativa, então é abeliano.
Passo 3
b) O grupo multiplicativo
é cíclico
Um grupo é cíclico se existe um elemento que gera todo o grupo através de suas potências. Em
, que consiste em {1, 2, 3, 4}, podemos verificar que 2 é gerador, pois:
Portanto,
é cíclico.
Passo 4
c) Se
é um grupo de ordem 21, então existe um elemento
que possui ordem 5
Segundo o Teorema de Cauchy, se um primo divide a ordem do grupo, então existe um elemento de ordem igual a esse primo. Como 5 divide 21 (mas 5 não divide 21, porque
), não existe necessariamente um elemento de ordem 5 em
.
Passo 5
d) Se
e
são subgrupos de um grupo
, então
é um subgrupo
Para a união de dois subgrupos ser um subgrupo, um deve estar contido no outro. Caso contrário, a união não será fechada sob a operação do grupo. Em geral,
não é um subgrupo a menos que
ou
.
Passo 6
e) Todo grupo
de ordem menor ou igual a 5 é abeliano
Grupos de ordem até 5 são abelianos porque os únicos grupos possíveis nessas ordens são cíclicos, que são sempre abelianos.
Passo 7
f) Todo grupo possui um subgrupo abeliano
O subgrupo trivial
, onde
é o elemento neutro, é sempre abeliano. Além disso, qualquer grupo possui seu centro
, que é abeliano. Portanto, todo grupo possui pelo menos um subgrupo abeliano.
Passo 8
g) Se
é um grupo cíclico de ordem 6, gerado por
, então
Em um grupo cíclico,
gera o subgrupo cujas ordens dos elementos são divisores de
. Para
,
, então
. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 9
h) Se
é um grupo de ordem 4 que possui mais de um elemento de ordem 2, ele é cíclico
Um grupo de ordem 4 com mais de um elemento de ordem 2 não é cíclico. Na verdade, ele é isomórfico ao grupo Klein, que não é cíclico e é abeliano. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 10
i)
é gerador de
Para que
seja um gerador de
, sua ordem deve ser
. Calculando as potências de 3 módulo 34:
Como a ordem de 3 é 16, que é igual a
, 3 é um gerador. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 11
j) Se
é um grupo, então
Na verdade,
. A inversa do produto de dois elementos é o produto das inversas na ordem inversa. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 12
k)
não é subgrupo de
Para ser um subgrupo,
precisa ser fechado sob a operação de composição e conter o elemento neutro e inversos. Analisando as permutações:
- A identidade está presente.
- As outras permutações formam um subgrupo, mas falta verificar a fechamento.
Após verificar, percebe-se que a composição de certos elementos não está em
, então
não é um subgrupo de
. A afirmação é verdadeira.
Passo 13
l) Todo grupo de ordem 5 é cíclico
Grupos de ordem
primo são cíclicos, pois possuem um elemento gerador. Portanto, todo grupo de ordem 5 é cíclico. A afirmação é verdadeira.
Resposta
a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa
e) Verdadeira
f) Verdadeira
g) Verdadeira
h) Falsa
i) Verdadeira
j) Falsa
k) Verdadeira
l) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa
e) Verdadeira
f) Verdadeira
g) Verdadeira
h) Falsa
i) Verdadeira
j) Falsa
k) Verdadeira
l) Verdadeira