Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
a) ( ) G=(Zp, cdot) com p primo, é um grupo abeliano
b) ( ) O grupo multiplicativo ( Z5^times, cdot) é cíclico
c) ( ) Se G é um grupo de ordem 21, então existe um elemento a in G que possui ordem 5
d) ()Se H e K são subgrupos de um grupo G , então H cup K é um subgrupo
e) ()Todo grupo G de ordem menor ou igual a 5 é abeliano
f) ( ) Todo grupo possui um subgrupo abeliano
g) ( ) Se G é um grupo cíclico de ordem 6, gerado por a, então G=lang<= a^5rang<=
h) ( ) Se G é um grupo de ordem 4 que possui mais de um elemento de ordem 2, ele é cíclico
i) ( ) a=3 é gerador de Z34^times
j) ( ) Se G=(G, *) um grupo, então (x * y)^-1=x^-1 * y^-1 forall x, y in G
k) ( ) H=(lll1 & 2 & 3 1 & 2 & 3),(lll1 & 2 & 3 2 & 3 & 1),(lll1 & 2 & 3 3 & 1 & 2),(lll1 & 2 & 3 1 & 3 & 2) não é subgrupo de S3
l) ( ) Todo grupo de ordem 5 é cíclico

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Teoria de Grupos onde precisamos decidir se cada uma das afirmações de a) a l) é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de grupos, como grupos abelianos, grupos cíclicos, subgrupos, ordens de grupos e elementos, e propriedades de grupos específicos como Zp e S3. Vamos analisar cada afirmação uma por uma para chegar nas respostas.

Passo 2

a) G=(Zp, cdot) com p primo, é um grupo abeliano
Aqui, Zp representa os inteiros módulo p, e o operador cdot indica a multiplicação. Para p primo, Zp com multiplicação forma um grupo apenas se excluirmos o elemento 0, ou seja, Zp^times. Se considerarmos todo Zp, não é um grupo porque 0 não tem inverso multiplicativo. Além disso, multiplicação em Zp^times é comutativa, então é abeliano.

Passo 3

b) O grupo multiplicativo Z5^times, cdot) é cíclico
Um grupo é cíclico se existe um elemento que gera todo o grupo através de suas potências. Em Z5^times, que consiste em {1, 2, 3, 4}, podemos verificar que 2 é gerador, pois:
2^1 = 2,
2^2 = 4,
2^3 = 3,
2^4 = 1.
Portanto, Z5^times é cíclico.

Passo 4

c) Se G é um grupo de ordem 21, então existe um elemento a in G que possui ordem 5
Segundo o Teorema de Cauchy, se um primo divide a ordem do grupo, então existe um elemento de ordem igual a esse primo. Como 5 divide 21 (mas 5 não divide 21, porque 21 = 3 times 7), não existe necessariamente um elemento de ordem 5 em G.

Passo 5

d) Se H e K são subgrupos de um grupo G, então H cup K é um subgrupo
Para a união de dois subgrupos ser um subgrupo, um deve estar contido no outro. Caso contrário, a união não será fechada sob a operação do grupo. Em geral, H cup K não é um subgrupo a menos que H subseteq K ou K subseteq H.

Passo 6

e) Todo grupo G de ordem menor ou igual a 5 é abeliano
Grupos de ordem até 5 são abelianos porque os únicos grupos possíveis nessas ordens são cíclicos, que são sempre abelianos.

Passo 7

f) Todo grupo possui um subgrupo abeliano
O subgrupo trivial e, onde e é o elemento neutro, é sempre abeliano. Além disso, qualquer grupo possui seu centro Z(G), que é abeliano. Portanto, todo grupo possui pelo menos um subgrupo abeliano.

Passo 8

g) Se G é um grupo cíclico de ordem 6, gerado por a, então G=lang<= a^5rang<=
Em um grupo cíclico, lang<= a^k rang<= gera o subgrupo cujas ordens dos elementos são divisores de 6gcd(6,k). Para k=5, gcd(6,5)=1, então lang<= a^5 rang<= = G. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 9

h) Se G é um grupo de ordem 4 que possui mais de um elemento de ordem 2, ele é cíclico
Um grupo de ordem 4 com mais de um elemento de ordem 2 não é cíclico. Na verdade, ele é isomórfico ao grupo Klein, que não é cíclico e é abeliano. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 10

i) a=3 é gerador de Z34^times
Para que 3 seja um gerador de Z34^times, sua ordem deve ser varphi(34) = 16. Calculando as potências de 3 módulo 34:
3^1 = 3,
3^2 = 9,
3^4 = 81 mod 34 = 13,
3^8 = 169 mod 34 = 33,
3^16 = 1089 mod 34 = 1.
Como a ordem de 3 é 16, que é igual a varphi(34), 3 é um gerador. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 11

j) Se G=(G, *) é um grupo, então (x * y)^-1=x^-1 * y^-1 forall x, y in G
Na verdade, (x * y)^-1=y^-1 * x^-1. A inversa do produto de dois elementos é o produto das inversas na ordem inversa. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 12

k) H=1 & 2 & 3 1 & 2 & 3,1 & 2 & 3 2 & 3 & 1,1 & 2 & 3 3 & 1 & 2,1 & 2 & 3 1 & 3 & 2 não é subgrupo de S3
Para ser um subgrupo, H precisa ser fechado sob a operação de composição e conter o elemento neutro e inversos. Analisando as permutações:
  • A identidade está presente.
  • As outras permutações formam um subgrupo, mas falta verificar a fechamento.
Após verificar, percebe-se que a composição de certos elementos não está em H, então H não é um subgrupo de S3. A afirmação é verdadeira.

Passo 13

l) Todo grupo de ordem 5 é cíclico
Grupos de ordem p primo são cíclicos, pois possuem um elemento gerador. Portanto, todo grupo de ordem 5 é cíclico. A afirmação é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa
e) Verdadeira
f) Verdadeira
g) Verdadeira
h) Falsa
i) Verdadeira
j) Falsa
k) Verdadeira
l) Verdadeira

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