Refaça o item a. do Exercício 2 com o polinômio de Taylor P2(x, y) de ordem 2 ao redor de (0,0).
Sejam f(x)=e^x+5 y e P2(x, y) o polinômio de Taylor de ordem 2 de f ao redor de (0,0).
Mostre que para todo (x, y) com x+5 y<1,
|e^x+5 y-P2(x, y)|<32(x+5 y)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você me mandou é um exercício que pede para refazer o item a do Exercício 2 usando o polinômio de Taylor de segunda ordem, $ P_{2}(x, y) $, para a função $ f(x) = e^{x + 5y} $ em torno do ponto P2(x, y) . A matéria envolvida aqui é o Desenvolvimento em Série de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções complicadas por polinômios mais simples. Para resolver isso, vamos precisar:
  • Entender como construir o polinômio de Taylor de segunda ordem para funções de duas variáveis.
  • Calcular as derivadas parciais necessárias.
  • Aplicar uma estimativa de erro para mostrar que a diferença entre a função original e o polinômio de Taylor é menor que $ \frac{3}{2}(x + 5y)^2 $ quando $ x + 5y < 1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos construir o polinômio de Taylor de segunda ordem, $ P_{2}(x, y) $, para a função $ f(x, y) = e^{x + 5y} $ em torno do ponto P2(x, y) .
O polinômio de Taylor de segunda ordem para uma função de duas variáveis é dado por:
f(x, y) = e^x + 5y
Onde:
  • $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de primeira ordem.
  • $ f_{xx} $, $ f_{xy} $ e $ f_{yy} $ são as derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias em (0,0).
Primeiro, a função original:
f(x, y) = e^x + 5y
Derivadas de primeira ordem:
fx = partial fpartial x = e^x + 5y
fy = partial fpartial y = 5e^x + 5y
Derivadas de segunda ordem:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = e^x + 5y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 5e^x + 5y
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 25e^x + 5y
Agora, avaliando todas essas derivadas em (0,0):
f(0,0) = e^0 + 0 = 1
fx(0,0) = e^0 = 1
fy(0,0) = 5e^0 = 5
fxx(0,0) = e^0 = 1
fxy(0,0) = 5e^0 = 5
fyy(0,0) = 25e^0 = 25

Passo 4

Substituindo esses valores na expressão do polinômio de Taylor:
P2(x, y) = 1 + 1 cdot x + 5 cdot y + 12[1 cdot x^2 + 2 cdot 5 cdot xy + 25 cdot y^2]
Simplificando:
P2(x, y) = 1 + x + 5y + 12(x^2 + 10xy + 25y^2)
P2(x, y) = 1 + x + 5y + x^22 + 5xy + 25y^22

Passo 5

Agora, queremos mostrar que:
|e^x + 5y - P2(x, y)| < 32(x + 5y)^2
Para isso, vamos usar o Teorema de Taylor com o termo de resto. Sabemos que, para $ f(x, y) = e^{x + 5y} $, o termo de resto $ R_{2}(x, y) $ após o polinômio de segunda ordem é dado por:
f(x, y) = e^x + 5y
Onde $ \xi $ e $ \eta $ estão entre 0 e $ x $, $ y $ respectivamente. Como todas as derivadas de $ e^{x + 5y} $ são iguais a $ e^{x + 5y} $, temos:
R2(x, y)
Como $ x + 5y < 1 $ e $ \xi + 5\eta \leq x + 5y < 1 $, então $ e^{\xi + 5\eta} < e^{1} $.
Portanto:
R2(x, y) = f^(3)(xi, eta)3!(x + 5y)^3
Para simplificar e encontrar uma constante maior que $ \frac{e}{6} $, notamos que $ e \approx 2.718 $, então $ \frac{e}{6} \approx 0.453 $. Queremos encontrar um múltiplo que facilite a comparação com $ \frac{3}{2}(x + 5y)^2 $.
Observando que:
xi
Porque:
eta
E isso é verdade já que $ x + 5y < 1 $.

Resposta

Assim, mostramos que para todo (x, y) com $ x + 5y < 1 $,
x + 5y < 1

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