Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 da função
f(x)=\sin x
em torno de x=0, e use-o para aproximar \sin (0,1).
Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 da função
f(x)=\sin x
em torno de x=0, e use-o para aproximar \sin (0,1).
Derivadas:
f(0)=0, \quad f^{\prime}(0)=1, \quad f^{\prime \prime}(0)=0, \quad f^{\prime \prime \prime}(0)=-1
Logo,
P_{3}(x)=x-\frac{x^{3}}{6}
Aproximação:
\sin (0,1) \approx 0,1-\downarrow \frac{0,001}{6} \approx 0,09983

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já foi dado:
  • Pede o polinômio de Taylor de ordem 3 de f(x)=\sin x em torno de x=0.
  • Pede usar esse polinômio para aproximar \sin(0,1).
  • O enunciado já forneceu as derivadas em 0:
    • f(0)=0
    • f'(0)=1
    • f''(0)=0
    • f^{(3)}(0)=-1

Passo 2

O que é o polinômio de Taylor (Maclaurin) de ordem 3 em torno de 0 e como se constrói:
  • A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem 3 em torno de 0 (Maclaurin) para uma função f é
P_{3}(x)=f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2!}\,x^{2}+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}\,x^{3}.
  • Explicando cada termo de forma prática:
    • f(0) é o valor da função em 0.
    • f'(0)\,x é a contribuição linear, com f'(0) sendo a inclinação em 0.
    • \dfrac{f''(0)}{2!}\,x^{2} é a correção quadrática; "2!" significa 2\cdot1=2.
    • \dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}\,x^{3} é a correção cúbica; "3!" significa 3\cdot2\cdot1=6.

Passo 3

Calcular as derivadas de \sin x e avaliá-las em 0 (para ficar claro como se obtiveram os valores dados):
  • Derivadas sucessivas de \sin x:
    • f(x)=\sin x
    • f'(x)=\cos x
    • f''(x)=-\sin x
    • f^{(3)}(x)=-\cos x
  • Avaliando em x=0:
    • f(0)=\sin 0=0
    • f'(0)=\cos 0=1
    • f''(0)=-\sin 0=0
    • f^{(3)}(0)=-\cos 0=-1

Passo 4

Montar o polinômio de ordem 3 substituindo na fórmula:
  • Usando a fórmula de P_{3} e os valores acima,
P_{3}(x)=0+1\cdot x+\frac{0}{2!}\,x^{2}+\frac{-1}{3!}\,x^{3}.
  • Simplificando,
P_{3}(x)=x-\frac{x^{3}}{6}.

Passo 5

Usar P_{3} para aproximar \sin(0,1) (aqui 0,1 significa 0{,}1):
  • Substituir x=0,1 em P_{3}(x):
P_{3}(0,1)=0,1-\frac{(0,1)^{3}}{6}.
  • Calcular passo a passo:
    • (0,1)^{2}=0,01.
    • (0,1)^{3}=0,001.
    • \dfrac{0,001}{6}=0,000166666\ldots.
    • Então
P_{3}(0,1)=0,1-0,000166666\ldots=0,099833333\ldots
  • Como escrita decimal arredondada a 7 casas decimais: 0,0998333.

Passo 6

Avaliar rapidamente o erro da aproximação (reminder Lagrange) para ter confiança na resposta:
  • O resto da expansão de Taylor em ordem 3 pelo teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange é
R_{3}(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}\,x^{4}
para algum \xi entre 0 e x.
  • Para f(x)=\sin x temos f^{(4)}(x)=\sin x, e |\sin\xi|\le 1. Logo
|R_{3}(0,1)|\le\frac{|0,1|^{4}}{4!}=\frac{0,0001}{24}=0,0000041666\ldots
  • Conclusão: o erro é menor que aproximadamente 4,17\times10^{-6}, ou seja, a aproximação 0,099833333\ldots está correta com boa precisão (pelo menos 5–6 casas decimais confiáveis).

Passo 7

Pequeno incentivo final (só pra desestressar): fez certinho — o polinômio é simples e a aproximação fica muito boa já com termos até o cúbico. Respire, reveja esses passos e pratique com outro ponto (por exemplo x=0,2) pra ganhar confiança.

Resposta

P_{3}(x)=x-\dfrac{x^{3}}{6}
\sin(0,1)\approx 0,099833333

Exercícios relacionados