Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 da função
em torno de
, e use-o para aproximar
.
Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 da função
em torno de
, e use-o para aproximar
.
Derivadas:
Logo,
Aproximação:
Derivadas:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já foi dado:
- Pede o polinômio de Taylor de ordem 3 de
em torno de . - Pede usar esse polinômio para aproximar
. - O enunciado já forneceu as derivadas em
: -
Passo 2
O que é o polinômio de Taylor (Maclaurin) de ordem 3 em torno de
e como se constrói:
- A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem
em torno de (Maclaurin) para uma função é
- Explicando cada termo de forma prática:
-
é o valor da função em . -
é a contribuição linear, com sendo a inclinação em . -
é a correção quadrática; significa . -
é a correção cúbica; significa .
-
Passo 3
Calcular as derivadas de
e avaliá-las em
(para ficar claro como se obtiveram os valores dados):
- Derivadas sucessivas de
: -
- Avaliando em
: -
Passo 4
Montar o polinômio de ordem
substituindo na fórmula:
- Usando a fórmula de
e os valores acima,
- Simplificando,
Passo 5
Usar
para aproximar
(aqui
significa
):
- Substituir
em :
- Calcular passo a passo:
-
. -
. -
. - Então
-
- Como escrita decimal arredondada a
casas decimais: .
Passo 6
Avaliar rapidamente o erro da aproximação (reminder Lagrange) para ter confiança na resposta:
- O resto da expansão de Taylor em ordem
pelo teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange é
para algum
entre
e
.
- Para
temos , e . Logo
- Conclusão: o erro é menor que aproximadamente
, ou seja, a aproximação está correta com boa precisão (pelo menos 5–6 casas decimais confiáveis).
Passo 7
Pequeno incentivo final (só pra desestressar): fez certinho — o polinômio é simples e a aproximação fica muito boa já com termos até o cúbico. Respire, reveja esses passos e pratique com outro ponto (por exemplo
) pra ganhar confiança.