Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
\vec{r}(t)=e^{t} \cos (t) \vec{i}+e^{t} \sin (t) \vec{j}+e^{t} \vec{k}, t \in[0,1]

Passo 1

O enunciado pede para determinar o comprimento de arco da curva dada pela função vetorial
\vec{r}(t)=e^{t}\cos(t)\,\vec{i}+e^{t}\sin(t)\,\vec{j}+e^{t}\,\vec{k}, \quad t\in[0,1].
Informações fornecidas:
  • A função vetorial \vec{r}(t) com três componentes explícitas em t.
  • O intervalo de parâmetro é [0,1].
O que devemos entregar: o comprimento de arco da curva entre t=0 e t=1, isto é um número.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (definição de comprimento de arco para curva paramétrica):
L=\int_{a}^{b}\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|\,dt,
onde \vec{r}\,'(t) é a derivada de \vec{r}(t) em relação a t e \big\|\vec{r}\,'(t)\big\| é a norma (módulo) desse vetor. Explicando em miúde:
  • \vec{r}\,'(t) é o vetor cujas componentes são as derivadas das componentes de \vec{r}(t).
  • A norma de um vetor (v_1,v_2,v_3) é \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
    Portanto, precisamos:
  1. Calcular \vec{r}\,'(t).
  2. Calcular \big\|\vec{r}\,'(t)\big\| = \sqrt{\text{soma dos quadrados das componentes}}.
  3. Integrar essa norma de t=0 até t=1.

Passo 3

Calcular a derivada componente a componente (usando regra do produto quando necessário).
Primeira componente: \dfrac{d}{dt}\big(e^{t}\cos t\big).
Usando a regra do produto \dfrac{d}{dt}(u v)=u'v+uv' com u=e^{t} e v=\cos t:
\frac{d}{dt}\big(e^{t}\cos t\big)=e^{t}\cos t + e^{t}(-\sin t)=e^{t}(\cos t-\sin t).
Segunda componente: \dfrac{d}{dt}\big(e^{t}\sin t\big).
Novamente regra do produto com u=e^{t}, v=\sin t:
\frac{d}{dt}\big(e^{t}\sin t\big)=e^{t}\sin t + e^{t}\cos t=e^{t}(\sin t+\cos t).
Terceira componente: \dfrac{d}{dt}\big(e^{t}\big)=e^{t}.
Logo a derivada vetorial é
\vec{r}\,'(t)=e^{t}(\cos t-\sin t)\,\vec{i}+e^{t}(\sin t+\cos t)\,\vec{j}+e^{t}\,\vec{k}.

Passo 4

Calcular o quadrado da norma \big\|\vec{r}\,'(t)\big\|^{2} somando os quadrados das componentes:
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|^{2} = \big(e^{t}(\cos t-\sin t)\big)^{2} + \big(e^{t}(\sin t+\cos t)\big)^{2} + \big(e^{t}\big)^{2}.
Fatorando e^{2t} (pois cada termo tem e^{t} ao quadrado):
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|^{2} = e^{2t}\Big[(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}+1\Big].

Passo 5

Simplificar o interior do colchete: expandir os quadrados e somar.
Calculemos cada termo:
(\cos t-\sin t)^{2}=\cos^{2}t-2\sin t\cos t+\sin^{2}t=1-2\sin t\cos t,
(\sin t+\cos t)^{2}=\sin^{2}t+2\sin t\cos t+\cos^{2}t=1+2\sin t\cos t.
Somando esses dois resultados:
(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}=(1-2\sin t\cos t)+(1+2\sin t\cos t)=2.
Agora somando o +1 que estava no colchete:
2+1=3.
Portanto
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|^{2}=e^{2t}\cdot 3=3e^{2t}.

Passo 6

Tomar a raiz quadrada para obter a norma:
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=\sqrt{3e^{2t}}=\sqrt{3}\,e^{t},
pois e^{t}\ge0 para todo t, então a raiz é \sqrt{3}\,e^{t}.

Passo 7

Montar a integral do comprimento de arco usando a norma encontrada:
L=\int_{0}^{1}\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|\,dt =\int_{0}^{1}\sqrt{3}\,e^{t}\,dt =\sqrt{3}\int_{0}^{1}e^{t}\,dt.
Explicação rápida: a constante \sqrt{3} pode sair da integral; a integral de e^{t} é e^{t}.

Passo 8

Calcular a integral:
\int_{0}^{1}e^{t}\,dt=\big[e^{t}\big]_{0}^{1}=e^{1}-e^{0}=e-1.
Multiplicando pela constante \sqrt{3}:
L=\sqrt{3}\,(e-1).

Resposta

\displaystyle L=\sqrt{3}\,(e-1)

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