Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o comprimento de arco da curva dada pela função vetorial
Informações fornecidas:
- A função vetorial
com três componentes explícitas em . - O intervalo de parâmetro é
.
O que devemos entregar: o comprimento de arco da curva entre
e
, isto é um número.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (definição de comprimento de arco para curva paramétrica):
onde
é a derivada de
em relação a
e
é a norma (módulo) desse vetor. Explicando em miúde:
-
é o vetor cujas componentes são as derivadas das componentes de . - A norma de um vetor
é .
Portanto, precisamos:
- Calcular
. - Calcular
. - Integrar essa norma de
até .
Passo 3
Calcular a derivada componente a componente (usando regra do produto quando necessário).
Primeira componente:
.
Usando a regra do produto com
e
:
Usando a regra do produto
Segunda componente:
.
Novamente regra do produto com ,
:
Novamente regra do produto com
Terceira componente:
.
Logo a derivada vetorial é
Passo 4
Calcular o quadrado da norma
somando os quadrados das componentes:
Fatorando
(pois cada termo tem
ao quadrado):
Passo 5
Simplificar o interior do colchete: expandir os quadrados e somar.
Calculemos cada termo:
Somando esses dois resultados:
Agora somando o
que estava no colchete:
Portanto
Passo 6
Tomar a raiz quadrada para obter a norma:
pois
para todo
, então a raiz é
.
Passo 7
Montar a integral do comprimento de arco usando a norma encontrada:
Explicação rápida: a constante
pode sair da integral; a integral de
é
.
Passo 8
Calcular a integral:
Multiplicando pela constante
: