Reparainetrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
\vec{r}(t)=\cos (2 t) \vec{i}+\sin (2 t) \vec{j}+2 t \vec{k}, t \geq 0

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
\vec{r}(t)=\cos(2t)\,\vec{i}+\sin(2t)\,\vec{j}+2t\,\vec{k},\qquad t\ge 0,
e pede: reparametrizar essa curva pelo comprimento de arco (ou seja, encontrar uma parametrização \vec{r}(s) em que s seja o comprimento de arco a partir de t=0 e |d\vec{r}/ds|=1). As informações relevantes que temos são a expressão de \vec{r}(t) e o intervalo t\ge 0.

Passo 2

Calcular a derivada \dfrac{d\vec{r}}{dt} (velocidade em função de t). Vou derivar componente a componente e explicar as regras usadas:
  • A derivada de \cos(2t) é -\sin(2t) multiplicado pela derivada interna 2, logo -2\sin(2t).
  • A derivada de \sin(2t) é \cos(2t) vezes 2, logo 2\cos(2t).
  • A derivada de 2t é 2.
Portanto
\frac{d\vec{r}}{dt}=-2\sin(2t)\,\vec{i}+2\cos(2t)\,\vec{j}+2\,\vec{k}.

Passo 3

Calcular a velocidade (norma da derivada) \left\|\dfrac{d\vec{r}}{dt}\right\|. Primeiro calculo o quadrado da norma e uso a identidade trigonométrica \sin^2+\cos^2=1:
\left\|\frac{d\vec{r}}{dt}\right\|^2 = (-2\sin(2t))^2+(2\cos(2t))^2+(2)^2 =4\sin^2(2t)+4\cos^2(2t)+4.
Agrupando os dois primeiros termos com a identidade trigonométrica:
4\sin^2(2t)+4\cos^2(2t)=4(\sin^2(2t)+\cos^2(2t))=4.
Logo
\left\|\frac{d\vec{r}}{dt}\right\|^2 = 4+4=8,
e portanto a velocidade é constante
\left\|\frac{d\vec{r}}{dt}\right\|=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Comentário didático curto: perceber que a velocidade é constante facilita muito a reparametrização por comprimento de arco, porque o comprimento cresce linearmente com t.

Passo 4

Definir o comprimento de arco s medido a partir de t=0. A definição geral é
s(t)=\int_{0}^{t}\left\|\frac{d\vec{r}}{du}\right\|\,du,
onde a variável de integração é u (uma letra diferente de t para evitar confusão). Como \left\|\dfrac{d\vec{r}}{du}\right\|=2\sqrt{2} é constante, a integral é imediata:
s(t)=\int_{0}^{t}2\sqrt{2}\,du=2\sqrt{2}\,t.
Aqui s(t) dá o comprimento de arco da curva desde o ponto correspondente a t=0 até o ponto correspondente a t.

Passo 5

Inverter a relação s=2\sqrt{2}\,t para obter t em função de s. Basta isolar t:
t=\frac{s}{2\sqrt{2}}.
Domínio: como t\ge 0 e a relação é linear, temos s\ge 0.

Passo 6

Substituir t=\dfrac{s}{2\sqrt{2}} em \vec{r}(t) para obter a parametrização pelo comprimento de arco \vec{r}(s)=\vec{r}\bigl(t(s)\bigr).
Calculo as componentes:
  • Para a componente x:
\cos\bigl(2t\bigr)=\cos\!\left(2\cdot\frac{s}{2\sqrt{2}}\right)=\cos\!\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right).
  • Para a componente y:
\sin\bigl(2t\bigr)=\sin\!\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right).
  • Para a componente z:
2t=2\cdot\frac{s}{2\sqrt{2}}=\frac{s}{\sqrt{2}}.
Portanto a parametrização por comprimento de arco é
\vec{r}(s)=\cos\!\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\,\vec{i}+\sin\!\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\,\vec{j}+\frac{s}{\sqrt{2}}\,\vec{k},\qquad s\ge 0.

Passo 7

Verificação (útil na prova): checar que \vec{r}(s) tem velocidade unitária, isto é \left\|\dfrac{d\vec{r}}{ds}\right\|=1. Derivando componente a componente:
\frac{d\vec{r}}{ds}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\!\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\,\vec{i} +\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\!\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)\,\vec{j} +\frac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{k}.
O quadrado da norma é
\left\|\frac{d\vec{r}}{ds}\right\|^2 =\frac{1}{2}\sin^2\!\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)+\frac{1}{2}\cos^2\!\left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)+\frac{1}{2} =\frac{1}{2}\bigl(\sin^2+\cos^2\bigr)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cdot1+\frac{1}{2}=1,
logo \left\|\dfrac{d\vec{r}}{ds}\right\|=1, como desejado.

Resposta

\vec{r}(s)=\cos\!\left(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\right)\,\vec{i}+\sin\!\left(\dfrac{s}{\sqrt{2}}\right)\,\vec{j}+\dfrac{s}{\sqrt{2}}\,\vec{k},\qquad s\ge 0

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