e pede: reparametrizar essa curva pelo comprimento de arco (ou seja, encontrar uma parametrização \vec{r}(s) em que s seja o comprimento de arco a partir de t=0 e |d\vec{r}/ds|=1). As informações relevantes que temos são a expressão de \vec{r}(t) e o intervalo t\ge 0.
Passo 2
Calcular a derivada \dfrac{d\vec{r}}{dt} (velocidade em função de t). Vou derivar componente a componente e explicar as regras usadas:
A derivada de \cos(2t) é -\sin(2t) multiplicado pela derivada interna 2, logo -2\sin(2t).
A derivada de \sin(2t) é \cos(2t) vezes 2, logo 2\cos(2t).
Calcular a velocidade (norma da derivada) \left\|\dfrac{d\vec{r}}{dt}\right\|. Primeiro calculo o quadrado da norma e uso a identidade trigonométrica \sin^2+\cos^2=1:
Comentário didático curto: perceber que a velocidade é constante facilita muito a reparametrização por comprimento de arco, porque o comprimento cresce linearmente com t.
Passo 4
Definir o comprimento de arco s medido a partir de t=0. A definição geral é
onde a variável de integração é u (uma letra diferente de t para evitar confusão). Como \left\|\dfrac{d\vec{r}}{du}\right\|=2\sqrt{2} é constante, a integral é imediata:
s(t)=\int_{0}^{t}2\sqrt{2}\,du=2\sqrt{2}\,t.
Aqui s(t) dá o comprimento de arco da curva desde o ponto correspondente a t=0 até o ponto correspondente a t.
Passo 5
Inverter a relação s=2\sqrt{2}\,t para obter t em função de s. Basta isolar t:
t=\frac{s}{2\sqrt{2}}.
Domínio: como t\ge 0 e a relação é linear, temos s\ge 0.
Passo 6
Substituir t=\dfrac{s}{2\sqrt{2}} em \vec{r}(t) para obter a parametrização pelo comprimento de arco \vec{r}(s)=\vec{r}\bigl(t(s)\bigr).
Calculo as componentes:
Verificação (útil na prova): checar que \vec{r}(s) tem velocidade unitária, isto é \left\|\dfrac{d\vec{r}}{ds}\right\|=1. Derivando componente a componente: