Considere f(x)=\cos x.
(a) Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de x=0.
(a) Derivadas:
f(0)=1, \quad f^{\prime}(0)=0, \quad f^{\prime \prime}(0)=-1
P_{2}(x)=1-\frac{x^{2}}{2}
(b) Use-o para aproximar \cos (0,3).
(b) Aproximação:
\cos (0,3) \approx 1-\frac{0,09}{2}=1-0,045=0,955
(c) Estime o erro usando o resto de Lagrange.
(c) Resto:
R_{2}(x)=\frac{f^{(3)}\text{(c)}}{3!} x^{3}
Como f^{(3)}(x)=\sin x, então \left|f^{(3)}\text{(c)}\right| \leq 1 :
\left|R_{2}(0,3)\right| \leq \frac{1}{6}(0,3)^{3} \approx 0,0045

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Função: \,f(x)=\cos x\,.
  • Perguntas:
    (a) Determinar o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de x=0 (Maclaurin de grau 2).
    (b) Usar esse polinômio para aproximar \cos(0,3).
    (c) Estimar o erro da aproximação usando o resto na forma de Lagrange.
  • Informações úteis (derivadas em x=0) que podemos e devemos usar: f(0)=1,\qquad f'(0)=0,\qquad f''(0)=-1,e a terceira derivada é f^{(3)}(x)=\sin x.

Passo 2

Definição e fórmula prática do polinômio de Taylor (Maclaurin) de ordem 2:
  • O polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de 0 é dado por
P_{2}(x)=f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2!}\,x^{2}.
Expliquei cada termo: f(0) é o valor da função no ponto de expansão; f'(0)\,x é a contribuição linear usando a inclinação no ponto; \dfrac{f''(0)}{2!}x^{2} é a parcela quadrática que usa a curvatura naquele ponto. O 2! é o fatorial de 2, isto é 2!=2.

Passo 3

Aplicando a fórmula com as derivadas conhecidas:
  • Substituindo f(0)=1, f'(0)=0 e f''(0)=-1 temos
P_{2}(x)=1+0\cdot x+\frac{-1}{2}\,x^{2}=1-\frac{x^{2}}{2}.
Portanto o polinômio de ordem 2 (Maclaurin) fica explícito como P_{2}(x)=1-\dfrac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Usando P_{2} para aproximar \cos(0,3):
  • Substituir x=0,3 em P_{2}:
P_{2}(0,3)=1-\frac{(0,3)^{2}}{2}.
  • Calcular passo a passo: (0,3)^{2}=0,09. Então
P_{2}(0,3)=1-\frac{0,09}{2}=1-0,045=0,955.
Ou seja, a aproximação dada pelo polinômio de grau 2 é \,0,955.

Passo 5

Enunciando o resto de Lagrange e o que ele significa:
  • A forma de Lagrange do resto ao truncar o desenvolvimento de Taylor em ordem n (aqui n=2) é
R_{2}(x)=\frac{f^{(3)}\text{(c)}}{3!}\,x^{3},
para algum c entre 0 e x. Isso significa que o erro verdadeiro ao usar P_{2}(x) é exatamente esse valor para algum ponto intermediário c; como c é desconhecido, costuma-se usar uma cota por cima ao estimar o erro.

Passo 6

Encontrando uma cota para |R_{2}(0,3)|:
  • Sabemos que f^{(3)}(x)=\sin x. Para todo x real vale |\sin x|\le 1.
  • Logo, tomando módulo e usando 3!=6,
\left|R_{2}(0,3)\right|\le \frac{1}{3!}\,|0,3|^{3}=\frac{1}{6}\,(0,3)^{3}.
  • Calcular (0,3)^{3}=0,027. Então
\left|R_{2}(0,3)\right|\le \frac{0,027}{6}=0,0045.
  • Interpretação prática: o erro absoluto da aproximação 0,955 é no máximo 0,0045. Como 0,3>0 e para c entre 0 e 0,3 temos \sin c\ge 0, o resto é não-negativo, então P_{2}(0,3) subestima ligeiramente \cos(0,3). (Essa observação ajuda a saber o sentido do erro.)

Resposta

P_{2}(x)=1-\dfrac{x^{2}}{2}
\cos(0,3)\approx 0,955
\left|R_{2}(0,3)\right|\le 0,0045

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