Perguntas:
(a) Determinar o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de x=0 (Maclaurin de grau 2).
(b) Usar esse polinômio para aproximar \cos(0,3).
(c) Estimar o erro da aproximação usando o resto na forma de Lagrange.
Informações úteis (derivadas em x=0) que podemos e devemos usar:f(0)=1,\qquad f'(0)=0,\qquad f''(0)=-1,e a terceira derivada é f^{(3)}(x)=\sin x.
Passo 2
Definição e fórmula prática do polinômio de Taylor (Maclaurin) de ordem 2:
O polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de 0 é dado por
P_{2}(x)=f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2!}\,x^{2}.
Expliquei cada termo: f(0) é o valor da função no ponto de expansão; f'(0)\,x é a contribuição linear usando a inclinação no ponto; \dfrac{f''(0)}{2!}x^{2} é a parcela quadrática que usa a curvatura naquele ponto. O 2! é o fatorial de 2, isto é 2!=2.
Portanto o polinômio de ordem 2 (Maclaurin) fica explícito como P_{2}(x)=1-\dfrac{x^{2}}{2}.
Passo 4
Usando P_{2} para aproximar \cos(0,3):
Substituir x=0,3 em P_{2}:
P_{2}(0,3)=1-\frac{(0,3)^{2}}{2}.
Calcular passo a passo: (0,3)^{2}=0,09. Então
P_{2}(0,3)=1-\frac{0,09}{2}=1-0,045=0,955.
Ou seja, a aproximação dada pelo polinômio de grau 2 é \,0,955.
Passo 5
Enunciando o resto de Lagrange e o que ele significa:
A forma de Lagrange do resto ao truncar o desenvolvimento de Taylor em ordem n (aqui n=2) é
R_{2}(x)=\frac{f^{(3)}\text{(c)}}{3!}\,x^{3},
para algum c entre 0 e x. Isso significa que o erro verdadeiro ao usar P_{2}(x) é exatamente esse valor para algum ponto intermediário c; como c é desconhecido, costuma-se usar uma cota por cima ao estimar o erro.
Passo 6
Encontrando uma cota para |R_{2}(0,3)|:
Sabemos que f^{(3)}(x)=\sin x. Para todo x real vale |\sin x|\le 1.
Interpretação prática: o erro absoluto da aproximação 0,955 é no máximo 0,0045. Como 0,3>0 e para c entre 0 e 0,3 temos \sin c\ge 0, o resto é não-negativo, então P_{2}(0,3) subestima ligeiramente \cos(0,3). (Essa observação ajuda a saber o sentido do erro.)