(UF-BA) Determine os polinômios da forma p(x)=x^3+b x^2+cx+d que são divisíveis por x-1 e x+1, sabendo que b, c e d in R e bd =-1.

Passo 1

O enunciado nos dá um polinômio da forma p(x)=x^3 + b x^2 + c x + d que deve ser divisível por x-1 e por x+1, além de satisfazer b d = -1. Vamos usar o Teorema do Resto e a condição extra para encontrar b,c,d.

Passo 2

Como x-1 é fator de p(x), temos p(1)=0. Logo,
1 + b + c + d = 0

Passo 3

Como x+1 é fator de p(x), temos p(-1)=0. Logo,
-1 + b - c + d = 0

Passo 4

Somando as duas equações acima para eliminar c:
(1 + b + c + d) + (-1 + b - c + d) = 0 + 0
Isso dá
2b + 2d = 0 ,Rightarrow, b + d = 0 ,Rightarrow, d = -b

Passo 5

Substituindo d=-b em b d = -1 obtemos
bcdot(-b) = -1 ,Rightarrow, -b^2 = -1 ,Rightarrow, b^2 = 1

Passo 6

Logo, b = 1 ou b = -1. Como d=-b, isso dá dois casos:
  • Se b=1, então d=-1.
  • Se b=-1, então d=1.

Passo 7

Para ambos os casos, podemos achar c usando 1 + b + c + d = 0. Substituindo d=-b nessa equação:
1 + b + c - b = 0 ,Rightarrow, 1 + c = 0 ,Rightarrow, c = -1

Passo 8

Portanto, em cada caso c=-1 e os polinômios são:
  • Para b=1, d=-1: p(x)=x^3 + x^2 - x - 1
  • Para b=-1, d=1: p(x)=x^3 - x^2 - x + 1

Resposta

Os polinômios são x^3 + x^2 - x - 1 e x^3 - x^2 - x + 1.

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