(UF-BA) Determine os polinômios da forma
que são divisíveis por
, sabendo que
e
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá um polinômio da forma
que deve ser divisível por
e por
, além de satisfazer
. Vamos usar o Teorema do Resto e a condição extra para encontrar
.
Passo 2
Como
é fator de
, temos
. Logo,
Passo 3
Como
é fator de
, temos
. Logo,
Passo 4
Somando as duas equações acima para eliminar
:
Isso dá
Passo 5
Substituindo
em
obtemos
Passo 6
Logo,
ou
. Como
, isso dá dois casos:
- Se
, então . - Se
, então .
Passo 7
Para ambos os casos, podemos achar
usando
. Substituindo
nessa equação:
Passo 8
Portanto, em cada caso
e os polinômios são:
- Para
: - Para
:
Resposta
Os polinômios são
e
.