Determine os valores das constantes reais a, b e c que verificam a igualdade:
ax+bx-2+cx+2=x^2+5 x-8x^3-4 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar constantes reais a, b e c tais que a soma de frações parciais. Para resolver, vamos usar a técnica de decomposição em frações parciais. Primeiro notamos que o denominador do lado direito fatoriza como x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2). Queremos então escrever
x^2 + 5x - 8x(x-2)(x+2) = ax + bx-2 + cx+2

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por x(x-2)(x+2) para eliminar os denominadores, obtendo uma identidade polinomial:
a(x-2)(x+2) + b,x(x+2) + c,x(x-2) = x^2 + 5x - 8

Passo 3

Agora expandimos os três termos do lado esquerdo:
a(x^2 - 4) + b(x^2 + 2x) + c(x^2 - 2x) = (a + b + c)x^2 + (2b - 2c)x - 4a

Passo 4

Igualamos os coeficientes de cada grau ao polinômio do lado direito x^2 + 5x - 8:
a + b + c = 1,2b - 2c = 5,-4a = -8

Passo 5

Da última equação vem a = 2. Substituindo em a + b + c = 1 b + c = -1. E de 2b - 2c = 5 obtemos b - c = 5/2. Resolvendo o sistema
b + c = -1,b - c = 5/2,
soma leva a 2b = -1 + 5/2 = 3/2, logo b = 3/4. Então c = -1 - b = -1 - 3/4 = -7/4.

Resposta

a = 2, b = \frac{3}{4}, c = -\frac{7}{4}

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