Determine os polinômios de Taylor de ordem 3 para f(x)=e^sin (x), f(x)=e^x^3-x e também f(x)=tan x em torno de x0=0.

Passo 1

O enunciado pede os polinômios de Taylor de ordem 3 (Maclaurin) para três funções em torno de x0=0. Vamos usar:
  1. Série de Maclaurin de funções básicas ( sin x, tan x, e^u).
  2. A regra de composição para obter o polinômio até grau 3, desprezando termos de ordem >=4.

Passo 2

Para f(x)=e^sin x fazemos primeiro
sin x = x - x^36 + O(x^5),
e em seguida, para u=sin x,
e^u =1+u+u^22+u^36+O(u^4)
Substituindo u=x-tfracx^36 e colhendo termos até x^3:
u = x - x^36, u^2 = x^2 + O(x^4), u^3 = x^3 + O(x^5)
Logo
e^sin x =1+l(x-x^36r) +x^22 +x^36 +O(x^4) =1+x+x^22+0cdot x^3+O(x^4)

Passo 3

Para f(x)=e^,x^3 - x definimos u=-x+x^3. Usando
e^u =1+u+u^22+u^36+O(u^4),
temos até grau 3:
u=-x+x^3, u^2=x^2+O(x^4), u^3=-x^3+O(x^5)
Portanto
e^x^3 - x =1+(-x+x^3) +x^22 +-x^36 +O(x^4) =1 - x + x^22 + 5,x^36 + O(x^4)

Passo 4

Para f(x)=tan x sabemos ou obtemos por divisão de séries:
tan x = x + x^33 + O(x^5)
Como só precisamos até grau 3, basta
P3(tan x)=x+x^33

Resposta

P3(e^sin x) = 1 + x + x^22,
P3(e^,x^3-x) = 1 - x + x^22 + 5,x^36,
P3(tan x) = x + x^33.

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