Exercício 2.1.1. Calcule as integrais, utilizando o método da substituição trigonométrica:
Ic=integral d xraiz36+x^2

Passo 1

O enunciado pede a integral
Ic=integral dxraiz36+x^2
O conteúdo aqui é a substituição trigonométrica para expressões da forma raiza^2+x^2. Vamos usar a identidade 1+tan^2theta=sec^2theta com uma escolha de theta que simplifique a raiz.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 6,tantheta, dx = 6,sec^2theta,dtheta, raiz36 + x^2 = raiz36l(1+tan^2thetar) = 6,sectheta
Substituindo na integral, obtemos
Ic = integral 6,sec^2theta,dtheta6,sectheta = integral sectheta,dtheta

Passo 3

Agora usamos o resultado padrão
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C

Passo 4

Voltemos a variável x. Como tantheta = tfracx6 e sectheta = raiz1+tan^2theta = tfracraiz36+x^26, temos
lnl|sectheta + tanthetar| = lngl|raiz36+x^26 + x6gr| = lnl|x+raiz36+x^2r|6 = lnl|x+raiz36+x^2r| + C',
onde absorbemos -ln6 em C'.

Resposta

Ic = lnl|x + raizx^2 + 36r| + C

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