Determine os pólos de cada uma das funções e a respectiva ordem:
f(z)=tan (z);

Passo 1

O enunciado pede para determinar os polos de f(z)=tan(z) e as respectivas ordens. O conteúdo envolvido é o de funções meromorfas, em que os polos são identificados pelos zeros do denominador.

Passo 2

Escrevemos tan(z) = sin(z)cos(z). Assim, os polos ocorrem nos pontos em que cos(z)=0, desde que sin(z) não anule simultaneamente.

Passo 3

Resolvendo cos(z)=0 obtemos:
z = pi2 + kpi, kinZ

Passo 4

Para verificar a ordem do polo, note que cos(z) tem zeros simples nesses pontos, pois sua derivada é cos'(z) = -sin(z) e em z0 = pi2 + kpi temos sin(z0)=pm1neq0. Portanto, cada polo de tan(z) é simples (ordem 1).

Resposta

Os polos de tan(z) são z = pi2 + kpi, com kinZ, e todos são de ordem 1.

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