Determine quem são os zeros de cada uma das funções e a respectiva ordem:
f(z)=1-e^(z-1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(z)=1-e^(z-1) e pede para a gente encontrar todos os zeros (valores de z que fazem f(z)=0) e a ordem de cada zero. Vamos usar conceitos de exponencial complexa e periodicidade.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação f(z)=0:
1 - e^(z-1) = 0
isso equivale a
e^(z-1) = 1

Passo 3

Sabemos que a exponencial complexa satisfaz e^w=1 se, e somente se, w = 2pi i k para algum kinZ. Aqui w = z-1, então
z - 1 = 2pi i k,
o que dá
zk = 1 + 2pi i k,
para todo inteiro k.

Passo 4

Para determinar a ordem de cada zero, calculamos a derivada:
f'(z) = -e^(z-1)
Em um zero zk, temos e^(zk-1)=1, logo f'(zk) = -1 neq 0. Isso mostra que cada zero é simples, ou seja, de ordem 1.

Resposta

Os zeros são zk = 1 + 2pi i k para todo kinZ, e cada um tem ordem 1.

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