Questão 5
Seja
uma forma diferencial com suporte compacto. Provar que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se temos uma forma diferencial de grau n−1 com suporte compacto em ℝⁿ, então a integral da sua diferencial em todo o ℝⁿ é zero. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes e a noção de suporte compacto (ou seja, existe uma bola grande que contém todo o suporte da forma).
Passo 2
Como α tem suporte compacto, existe um raio R>0 tal que α≡0 fora da bola B_R={x∈ℝⁿ:
∥x∥≤R}. Em particular, dα≈0 fora dessa bola.
∥x∥≤R}. Em particular, dα≈0 fora dessa bola.
Passo 3
Como fora de B_R temos dα=0, podemos restringir a integral a B_R:
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema de Stokes em B_R, que nos diz que a integral de dα sobre B_R é igual à integral de α sobre a fronteira ∂B_R (orientada):
Passo 5
Mas como α se anula fora de B_R, em particular ela vale zero em ∂B_R. Logo a integral de α sobre ∂B_R é zero.
Passo 6
Portanto, juntando tudo, obtemos que a integral de dα sobre todo o ℝⁿ é zero.
Resposta
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