Questão 6
a. Provar que para todo
b. Seja
duas funções integraveis num bloco
, provar a desigualdade de Schwarz :
Passo 1
O enunciado pede para provar duas desigualdades: primeiro uma relação entre números reais e depois a desigualdade de Schwarz para funções integráveis. Vamos usar a propriedade de que quadrados são não negativos e, no caso da parte b, o fato de que um polinômio de segundo grau não pode ser negativo em nenhum ponto.
Passo 2
Para a parte a, note que o quadrado de qualquer real é não negativo. Assim, temos:
Rearranjando essa expressão:
Dividindo tudo por 2, obtemos justamente
que é a desigualdade desejada.
Passo 3
Para a parte b, considere a família de expressões quadráticas em
:
Como o integrando é o quadrado de uma função real, temos
Passo 4
Expandindo
, fica
Isso é um polinômio em
Passo 5
Como
para todo
, o discriminante desse polinômio satisfaz
Substituindo
Isto implica
que é exatamente a desigualdade de Schwarz.
Passo 6
Assim, concluímos as duas partes pedidas: a)
para todo
; b) a desigualdade de Schwarz
Resposta
Para todo
vale
e para funções integráveis