Questão 6

a. Provar que para todo x, y in R
x y <= x^22+y^22
b. Seja f, g duas funções integraveis num bloco A, provar a desigualdade de Schwarz :
(integralA f(x) g(x) d x)^2 <= integralA f(x)^2 d x integralA g(x)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para provar duas desigualdades: primeiro uma relação entre números reais e depois a desigualdade de Schwarz para funções integráveis. Vamos usar a propriedade de que quadrados são não negativos e, no caso da parte b, o fato de que um polinômio de segundo grau não pode ser negativo em nenhum ponto.

Passo 2

Para a parte a, note que o quadrado de qualquer real é não negativo. Assim, temos:
0 <= (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
Rearranjando essa expressão:
2xy <= x^2 + y^2
Dividindo tudo por 2, obtemos justamente
xy <= x^22 + y^22,
que é a desigualdade desejada.

Passo 3

Para a parte b, considere a família de expressões quadráticas em t:
varphi(t) = integralA l(f(x) + t,g(x)r)^2,dx
Como o integrando é o quadrado de uma função real, temos varphi(t) >= 0 para todo t in R.

Passo 4

Expandindo varphi(t), fica
varphi(t) = t^2 integralA f(x)^2,dx + 2t integralA f(x)g(x),dx + integralA g(x)^2,dx
Isso é um polinômio em t da forma at^2 + 2bt + c com
a = integralA f(x)^2,dx, b = integralA f(x)g(x),dx, c = integralA g(x)^2,dx

Passo 5

Como varphi(t) >= 0 para todo t, o discriminante desse polinômio satisfaz
De
Substituindo a,b,c, obtemos
(2!integralA f g,dx)^2 - 4integralA f^2,dx integralA g^2,dx <= 0
Isto implica
l(integralA f(x)g(x),dxr)^2 <= integralA f(x)^2,dx ;integralA g(x)^2,dx,
que é exatamente a desigualdade de Schwarz.

Passo 6

Assim, concluímos as duas partes pedidas: a) xy <= tfracx^22 + tfracy^22 para todo x,yin R; b) a desigualdade de Schwarz
(integralA fg)^2 <= integralA f^2 integralA g^2

Resposta

Para todo x,yin R vale
xy <= x^22 + y^22,
e para funções integráveis f,g em A vale a desigualdade de Schwarz
l(integralA f(x)g(x),dxr)^2 <= integralA f(x)^2,dx ;integralA g(x)^2,dx

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