Determine os pólos de cada uma das funções e a respectiva ordem:
f(z)=e^zz^2;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os polos de
f(z)=e^zz^2
e determinar a ordem de cada um deles. O assunto é singularidades isoladas e polos de funções meromorfas, e vamos precisar usar o fato de que e^z é inteira (sem zeros ou polos) e estudar o denominador.

Passo 2

Identificamos as singularidades: o denominador z^2 zera apenas em z=0. Como e^z é analítica e não nula em z=0, essa é uma singularidade isolada de f.

Passo 3

Para descobrir a ordem do polo, podemos olhar a série de Laurent de f em torno de z=0. Primeiro, expandimos e^z:
e^z=1+z+z^22!+z^33!+cdots
Dividindo por z^2, temos
f(z)=e^zz^2=1z^2+1z+12!+z3!+cdots
A parte principal tem dois termos negativos ( z^-2 e z^-1), mostrando que é um polo de ordem 2.

Passo 4

Portanto, o único polo de f(z) é em z=0, e pela expansão a ordem desse polo é 2.

Resposta

O único polo é em z = 0, de ordem 2.

Exercícios relacionados