Verifique se o campo F é conservativo e se for, encontre a função potencial f tal que nabla f=F.
F=2 x y i+x^2 j

Passo 1

Estamos com o campo vetorial vec F( x,y ) = 2xy,vec i + x^2,vec j. O objetivo é verificar se ele é conservativo e, em caso positivo, encontrar uma função potencial f(x,y) tal que nabla f = vec F. Vamos usar teoria de campos conservativos em e integração parcial para achar R^2.

Passo 2

Em (que é simplesmente conexo), um campo R^2 é conservativo se, e somente se, as derivadas parciais satisfazem
vec F = P(x,y),vec i + Q(x,y),vec j
Aqui temos partial Ppartial y = partial Qpartial x e P(x,y)=2xy. Calculando:
Q(x,y)=x^2
partial Ppartial y = 2x,
Como são iguais, partial Qpartial x = 2x é conservativo.

Passo 3

Para encontrar a função potencial f(x,y) satisfazendo
partial fpartial x = 2xy,
integrar em relação a x:
f(x,y) = integral 2xy ,dx = x^2y + g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora usamos a outra condição de gradiente,
partial fpartial y = x^2 + g'(y)
e igualamos a Q(x,y)=x^2. Daí
x^2 + g'(y) = x^2
implica g'(y)=0. Logo g(y)=C, constante.

Passo 5

Portanto, a função potencial (à constante aditiva) é
f(x,y)=x^2y + C

Resposta

f(x,y)=x^2y + C (com C constante)

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