Verifique se o campo
é conservativo e se for, encontre a função potencial
tal que
.
Passo 1
Estamos com o campo vetorial
. O objetivo é verificar se ele é conservativo e, em caso positivo, encontrar uma função potencial
tal que
. Vamos usar teoria de campos conservativos em e integração parcial para achar
.
Passo 2
Em (que é simplesmente conexo), um campo
é conservativo se, e somente se, as derivadas parciais satisfazem
Aqui temos
e
. Calculando:
Como são iguais,
é conservativo.
Passo 3
Para encontrar a função potencial
satisfazendo
integrar em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Agora usamos a outra condição de gradiente,
e igualamos a
. Daí
implica
. Logo
, constante.
Passo 5
Portanto, a função potencial (à constante aditiva) é