Questão 7

Seja omega in Omega^n(U) com U subset R^n+1 aberto. Para x in U, seja S(r) a esfera de centro x e raio r e seja B(r) a bola de centro x e raio r. Provar que se R^n+1 é a base canonica do d omega(x)(e1, ldots, en+1)=lim r 0 1vol(B(r)) integralS(r) omega então temos
omega
Provar que D subset U é fechada se e somente se para todo dominio compacto partial D de bordo C^2 de classe integralpartial D omega=0 temos .

Passo 1

A questão pede duas coisas: primeiro mostrar que o valor de domega(x) no par de vetores canônicos se obtém como o limite do fluxo normalizado de omega sobre esferas pequenas; segundo, caracterizar formas fechadas via integrais sobre fronteiras de domínios. Vamos usar a definição de derivada exterior, o Teorema de Stokes e continuação das formas para resolver.

Passo 2

Queremos provar
Pelo Teorema de Stokes aplicado ao domínio domega(x)(e1,dots,en+1) = limrto 0 1vol(B(r)) integralS(r) omega com fronteira B(r) vale
S(r)
Como integralS(r) omega = integralB(r) domega é contínua em domega, em cada ponto x escrevemos
yin B(r)
com domega(y) = domega(x) + varepsilon(y), uniformemente em |varepsilon(y)|to0 quando B(r).

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integralB(r) domega(y) = integralB(r) domega(x) + integralB(r) varepsilon(y)
Como domega(x) é uma forma constante sobre B(r), ela vale
domega(x) = c,dx^1wed>=cdotswed>= dx^n+1, c = domega(x)(e1,dots,en+1)
Logo
Do outro lado, a integral de integralB(r) domega(x) = c,vol(B(r)) tem módulo , que ao dividir por tende a zero.

Passo 4

Dividindo integralS(r)omega = integralB(r)domega por e fazendo vol(B(r)) vem
Isso conclui o primeiro item.

Passo 5

Para a segunda parte, se omega é fechada então domega=0 e pelo Teorema de Stokes em qualquer domínio compacto D com fronteira lisa
integralpartial Domega = integralD domega = 0
Reciprocamente, suponha que integralpartial Domega=0 para todo D. Tomando D=B(r) esfera pequena ao redor de x, temos
Dividindo por e levando 0 = integralS(r)omega = vol(B(r))l(domega(x)(e1,dots,en+1)+o(1)r) segue vol(B(r)). Como isso vale para todo ponto rto0, domega(x)(e1,dots,en+1)=0 em x, logo domega=0 é fechada.

Resposta


e
domega(x)(e1,dots,en+1) = limrto 0 1vol(B(r)) integralS(r) omega,éí

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