Questão 7
Seja
com
aberto. Para
, seja
a esfera de centro
e raio
e seja
a bola de centro
e raio
. Provar que se
é a base canonica do
então temos
Provar que
é fechada se e somente se para todo dominio compacto
de bordo
de classe
temos
.
Passo 1
A questão pede duas coisas: primeiro mostrar que o valor de
no par de vetores canônicos se obtém como o limite do fluxo normalizado de
sobre esferas pequenas; segundo, caracterizar formas fechadas via integrais sobre fronteiras de domínios. Vamos usar a definição de derivada exterior, o Teorema de Stokes e continuação das formas para resolver.
Passo 2
Queremos provar
Pelo Teorema de Stokes aplicado ao domínio
com fronteira
vale
Como
é contínua em
, em cada ponto
escrevemos
com
uniformemente em
quando
.
Passo 3
Substituindo na integral, obtemos
Como
é uma forma constante sobre
, ela vale
Logo
Do outro lado, a integral de
tem módulo , que ao dividir por tende a zero.
Passo 4
Dividindo
por e fazendo
vem
Isso conclui o primeiro item.
Passo 5
Para a segunda parte, se
é fechada então
e pelo Teorema de Stokes em qualquer domínio compacto
com fronteira lisa
Reciprocamente, suponha que
para todo
. Tomando
esfera pequena ao redor de
, temos
Dividindo por e levando
segue
. Como isso vale para todo ponto
,
em
, logo
é fechada.
Resposta
e