Determine se o ponto D pertence ao plano que contém os pontos A, B e C, onde:
A=(2,2,0), B=(0,0,-2), C=(2,3,0), D=(1,-1,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o ponto D está no plano determinado pelos pontos A, B e C. O conteúdo aqui é geometria no espaço: para isso, vamos calcular dois vetores no plano (por exemplo AB e AC), obter um vetor normal ao plano usando produto vetorial, montar a equação do plano e testar se D satisfaz essa equação.

Passo 2

Calcular os vetores AB e AC:
AB = B - A = (0-2,;0-2,;-2-0) = (-2,,-2,,-2),
AC = C - A = (2-2,;3-2,;0-0) = (0,;1,;0)

Passo 3

Determinar um vetor normal n ao plano com produto vetorial:
n = ABtimes AC = i & j & k -2 & -2 & -2 0 & 1 & 0 = (2,,0,,-2)
Logo, a equação do plano em forma vetorial é
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0
e em forma cartesiana:
(2,0,-2)cdot(x-2,;y-2,;z-0)=0 Longrightarrow 2(x-2)-2z=0 Longrightarrow x - z = 2

Passo 4

Testar o ponto D=(1,-1,0) na equação x - z = 2:
1 - 0 = 1 neq 2,
logo D não satisfaz a equação do plano.

Resposta

O ponto D não pertence ao plano que contém A, B e C.

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