Resolva cada um dos sistemas lineares, determinando as matrizes reduzidas por linhas a forma escada, e os postos das matrizes ampliada e dos coeficientes de cada um dos sistemas abaixo:
lx+y+2 z=8 -x-2 y+3 z=1 3 x-7 y+4 z=10

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
x + y + 2z = 8, -,x - 2y + 3z = 1, 3x - 7y + 4z = 10
usando eliminação de Gauss para levar a matriz aumentada à forma escada, e depois determinar os postos da matriz de coeficientes e da matriz ampliada. Vamos aplicar operações elementares linha a linha.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada l[Amid br]:
[, ccc|c 1 & 1 & 2 & 8 -1 & -2 & 3 & 1 3 & -7 & 4 & 10 ]

Passo 3

Eliminamos abaixo do pivô a11=1:
L2 L2 + L1
L3 L3 - 3L1
[, ccc|c 1 & 1 & 2 & 8 0 & -1 & 5 & 9 0 & -10 & -2 & -14 ]

Passo 4

Agora usamos o pivô a22=-1 para zerar em a32:
L3 L3 - 10,L2
[, ccc|c 1 & 1 & 2 & 8 0 & -1 & 5 & 9 0 & 0 & -52 & -104 ]

Passo 5

Esta é a forma escada da matriz aumentada. A forma escada da matriz de coeficientes A é
1 & 1 & 2 0 & -1 & 5 0 & 0 & -52 ,
e da matriz ampliada l[Amid br] é
[, ccc|c 1 & 1 & 2 & 8 0 & -1 & 5 & 9 0 & 0 & -52 & -104 ]
Há três pivôs não nulos, logo
rank(A)=3, rankl[Amid br]=3
Como os dois postos são iguais e valem o número de incógnitas, o sistema tem solução única.

Passo 6

Fazendo retro-substituição:
da terceira linha -52,z=-104 vem
z = -104-52 = 2
da segunda linha -y + 5z = 9
-y + 5cdot 2 =9 ;Longrightarrow; -y = -1 ;Longrightarrow; y =1
da primeira linha x + y +2z =8 obtemos
x + 1 + 2cdot 2 =8 ;Longrightarrow; x +5 =8 ;Longrightarrow; x =3

Resposta

A forma escada de l[Amid br] é
[, ccc|c 1 & 1 & 2 & 8 0 & -1 & 5 & 9 0 & 0 & -52 & -104 ], rank(A)=3, rankl[Amid br]=3,
e a solução única é
(x,y,z) = (3,,1,,2)

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