Resolva cada um dos sistemas lineares, determinando as matrizes reduzidas por linhas a forma escada, e os postos das matrizes ampliada e dos coeficientes de cada um dos sistemas abaixo:
lx-y+2 z-w=-1 2 x+y-2 z-2 w=1 -x+2 y-4 z+w=1 3 x-3 w=-3

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas. Vamos usar eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) para obter a forma escada (echelon) da matriz de coeficientes A e da matriz ampliada (Amid b), e daí determinar os postos (ranks).

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada inicial e eliminamos x nas linhas 2, 3 e 4 usando a linha 1:
(Amid b) = 1 & -1 & 2 & -1 & ;-1 2 & 1 & -2 & -2 & ;1 -1 & 2 & -4 & 1 & ;1 3 & 0 & 0 & -3 & ;-3
Aplicando
L2 L2-2L1, L3 L3+L1, L4 L4-3L1,
obtemos
1 & -1 & 2 & -1 & -1 0 & 3 & -6 & 0 & 3 0 & 1 & -2 & 0 & 0 0 & 3 & -6 & 0 & 0

Passo 3

Agora pivotamos em y. Primeiro trocamos L2 com L3 para ter pivô 1:
L2rightarrow L3 ;Longrightarrow; 1 & -1 & 2 & -1 & -1 0 & 1 & -2 & 0 & 0 0 & 3 & -6 & 0 & 3 0 & 3 & -6 & 0 & 0
Em seguida eliminamos abaixo:
L3 L3-3L2, L4 L4-3L2 ;Longrightarrow; 1 & -1 & 2 & -1 & -1 0 & 1 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 & 0
A linha 3 tem todas as entradas de coeficientes zero e o termo à direita igual a 3, o que gera 0=3. Isso indica inconsistência.

Passo 4

Da forma escada de (Amid b) tiramos a forma escada de A simplesmente ignorando a última coluna. Assim:
Forma escada por linhas de A:
1 & -1 & 2 & -1 0 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ,
forma escada por linhas de (Amid b):
1 & -1 & 2 & -1 & -1 0 & 1 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Portanto
rank(A)=2, rank(Amid b)=3

Resposta

A forma escada de A é
1 & -1 & 2 & -1 0 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ,
a forma escada de (Amid b) é
1 & -1 & 2 & -1 & -1 0 & 1 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ,
rank(A)=2, rank(Amid b)=3.
Logo o sistema é incompatível (sem solução).

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