Determine o ponto do elipsóide x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=1 cuja soma das coordenadas seja máxima. Use multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a função objetivo
f(x,y,z)=x+y+z
sob a restrição do elipsóide
g(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-1=0.
O método que vamos usar é o dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Formamos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=x+y+z-\lambda\bigl(x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-1\bigr).
Em seguida, igualamos a zero as derivadas parciais de \mathcal{L}:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=1-2\lambda x=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=1-4\lambda y=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=1-6\lambda z=0.

Passo 3

Das três equações anteriores obtemos:
x=\frac{1}{2\lambda},\quad y=\frac{1}{4\lambda},\quad z=\frac{1}{6\lambda}.

Passo 4

Substituímos estes valores na restrição x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=1:
\Bigl(\tfrac{1}{2\lambda}\Bigr)^{2} +2\Bigl(\tfrac{1}{4\lambda}\Bigr)^{2} +3\Bigl(\tfrac{1}{6\lambda}\Bigr)^{2} =1 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{4\lambda^{2}}+\frac{1}{8\lambda^{2}}+\frac{1}{12\lambda^{2}}=1.
Somando as frações:
\frac{6+3+2}{24\lambda^{2}}=\frac{11}{24\lambda^{2}}=1 \;\Longrightarrow\; \lambda^{2}=\frac{11}{24} \;\Longrightarrow\; \lambda=\pm\sqrt{\frac{11}{24}}.
Para maximizar x+y+z escolhemos o sinal positivo, \lambda=\sqrt{11/24}.

Passo 5

Finalmente, obtemos
x=\frac{1}{2\lambda}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{24}{11}} =\sqrt{\frac{6}{11}},\quad y=\frac{1}{4\lambda}=\frac12\sqrt{\frac{6}{11}},\quad z=\frac{1}{6\lambda}=\frac13\sqrt{\frac{6}{11}}.

Resposta

O ponto do elipsóide que maximiza x+y+z é
\Bigl(\sqrt{\tfrac{6}{11}},\;\tfrac12\sqrt{\tfrac{6}{11}},\;\tfrac13\sqrt{\tfrac{6}{11}}\Bigr).

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