Encontre a solução do PVI usando o método do fator integrante:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}(t)+7 y(t) \equiv 35 \\\ y(0)=8\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'(t) + 7\,y(t) = 35,
com condição y(0)=8. Trata-se de uma equação linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

O fator integrante \mu(t) é dado por
\mu(t) = e^{\int 7\,dt} = e^{7t}.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(t) obtemos
e^{7t}y'(t) + 7e^{7t}y(t) = 35e^{7t},
que reconhecemos como a derivada do produto y(t)e^{7t}, ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(y(t)e^{7t}\bigr) = 35e^{7t}.

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a t resulta
y(t)e^{7t} = \int 35e^{7t}\,dt = 5e^{7t} + C.
Isolando y(t) obtemos
y(t) = 5 + Ce^{-7t}.
Aplicando y(0)=8
8 = 5 + C \implies C = 3.

Resposta

y(t) = 5 + 3e^{-7t}

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