Encontre a solução do seguinte PVI por qualquer método: \left\{\begin{aligned} \frac{1}{t} y^{\prime}(t) & \equiv y(t) \\\ y(2) & =e^{2}\end{aligned}\right. Passo 1O enunciado nos dá o PVI \begin{cases} \frac{1}{t}\,y'(t)=y(t),\\\ y(2)=e^{2}, \end{cases} que é uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos tratar pela separação de variáveis. Passo 2Multiplicando ambos os lados por t, obtemos y'(t)=t\,y(t). Reescrevendo em forma separável: \frac{y'(t)}{y(t)}=t \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y}=t\,dt. Integrando os dois lados: \int \frac{dy}{y} = \int t\,dt \;\Longrightarrow\; \ln|y| = \frac{t^2}{2} + C. Passo 3Exponenciando ambos os lados, vem |y| = e^{\,\frac{t^2}{2} + C} = e^C\,e^{\frac{t^2}{2}}. Chamando K = e^C, escrevemos a solução geral como y(t) = K\,e^{\frac{t^2}{2}}. Passo 4Impondo a condição inicial y(2)=e^2, temos e^2 = K\,e^{\frac{2^2}{2}} = K\,e^{2} \quad\Longrightarrow\quad K=1. Logo a solução particular é y(t) = e^{\frac{t^2}{2}}. Resposta y(t) = e^{\frac{t^2}{2}}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEncontre a solução do PVI usando o método do fator integrante: \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}(t)+7 y(t) \equiv 35 \\\ y(0)=8\end{array}\right. Usando o método da eq. dif. exata encontre a solução - na forma implícita - do seguinte PVI: \left\{\begin{array}{l}{\left[v^{2}+15 x^{4} y\right] d x+\left[3 x^{5}+2 x y\right] d y \equiv 0}\end{array}\right. Demonstre as identidades: (b) \frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}=\operatorname{sen} 2 \theta Exercício 5. Determine o menor número \theta>4 \pi tal que \cos \theta=0