Encontre a solução do seguinte PVI por qualquer método:
\left\{\begin{aligned} \frac{1}{t} y^{\prime}(t) & \equiv y(t) \\\ y(2) & =e^{2}\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
\begin{cases} \frac{1}{t}\,y'(t)=y(t),\\\ y(2)=e^{2}, \end{cases}
que é uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos tratar pela separação de variáveis.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por t, obtemos
y'(t)=t\,y(t).
Reescrevendo em forma separável:
\frac{y'(t)}{y(t)}=t \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y}=t\,dt.
Integrando os dois lados:
\int \frac{dy}{y} = \int t\,dt \;\Longrightarrow\; \ln|y| = \frac{t^2}{2} + C.

Passo 3

Exponenciando ambos os lados, vem
|y| = e^{\,\frac{t^2}{2} + C} = e^C\,e^{\frac{t^2}{2}}.
Chamando K = e^C, escrevemos a solução geral como
y(t) = K\,e^{\frac{t^2}{2}}.

Passo 4

Impondo a condição inicial y(2)=e^2, temos
e^2 = K\,e^{\frac{2^2}{2}} = K\,e^{2} \quad\Longrightarrow\quad K=1.
Logo a solução particular é
y(t) = e^{\frac{t^2}{2}}.

Resposta

y(t) = e^{\frac{t^2}{2}}.

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