Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas e esboce o gráfico.
e
;
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a curva y =
e a reta y = 0 no intervalo
. O conteúdo é área sob a curva, então vamos usar integrais definidas para calcular essa área.
Passo 2
Análise da região: a função
cruza o eixo em
,
e
. Entre 0 e
está acima do eixo (área positiva) e entre
e
fica abaixo (área negativa em sinal, mas vamos considerar a área positiva em módulo).
Passo 3
Cálculo da área de 0 a
:
Usando
, temos
Passo 4
Cálculo da área de
a
: essa parte está abaixo do eixo, então tomamos o negativo da integral para obter área positiva:
Primeiro avalia:
Portanto
Passo 5
Somando as duas áreas (parte acima e parte abaixo do eixo) obtemos a área total:
Passo 6
Esboço do gráfico: a curva de
começa em zero, atinge 1 em
, volta a zero em
, chega a -1 em
e retorna a zero em
. A região limitada com o eixo
forma um arco positivo de 0 a
e um arco simétrico negativo de
a
.
Resposta
4