Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas e esboce o gráfico.
y=sen x e y=0, x in[0,2 pi];

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a curva y = sin x e a reta y = 0 no intervalo [0,2pi]. O conteúdo é área sob a curva, então vamos usar integrais definidas para calcular essa área.

Passo 2

Análise da região: a função sin x cruza o eixo em x=0, x=pi e x=2pi. Entre 0 e pi está acima do eixo (área positiva) e entre pi e 2pi fica abaixo (área negativa em sinal, mas vamos considerar a área positiva em módulo).

Passo 3

Cálculo da área de 0 a pi:
A1=integral0^pi sin x,dx
Usando integral sin x,dx = -cos x, temos
A1 = [-cos x]0^pi = (-cospi) - (-cos0) = -(-1) - ( -1) = 1 +1 = 2

Passo 4

Cálculo da área de pi a 2pi: essa parte está abaixo do eixo, então tomamos o negativo da integral para obter área positiva:
A2 = -integralpi^2pi sin x,dx = -([-cos x]pi^2pi)
Primeiro avalia:
[-cos x]pi^2pi = (-cos(2pi)) - (-cospi) = (-1) - ( -(-1)) = -1 -1 = -2
Portanto
A2 = -(-2) = 2

Passo 5

Somando as duas áreas (parte acima e parte abaixo do eixo) obtemos a área total:
A = A1 + A2 = 2 + 2 = 4

Passo 6

Esboço do gráfico: a curva de sin x começa em zero, atinge 1 em pi/2, volta a zero em pi, chega a -1 em 3pi/2 e retorna a zero em 2pi. A região limitada com o eixo y=0 forma um arco positivo de 0 a pi e um arco simétrico negativo de pi a 2pi.

Resposta

4

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