Determine o ponto do elipsóide x^24+y^24+z^28=1 cuja soma das coordenadas é máxima.

Passo 1

O enunciado pede o ponto (x,y,z) sobre o elipsóide
x^24 + y^24 + z^28 = 1
que maximiza a soma das coordenadas
f(x,y,z) = x + y + z
O método que vamos usar é o dos multiplicadores de Lagrange, pois ele ajuda a encontrar extremos de uma função sujeita a uma restrição.

Passo 2

Definimos a função de restrição
g(x,y,z) = x^24 + y^24 + z^28 - 1 = 0
Pelo método de Lagrange, em um ponto extremo deve valer
nabla f = lambda,nabla g
Calculamos os gradientes:
nabla f = (1,1,1), nabla g = l(x2,,y2,,z4r)

Passo 3

Igualando componentes de nabla f = lambda,nabla g, obtemos
1 = lambda,x2, 1 = lambda,y2, 1 = lambda,z4
Dessas três equações segue
x = 2lambda, y = 2lambda, z = 4lambda

Passo 4

Substituímos l(x,y,zr) = l(2/lambda,,2/lambda,,4/lambdar) na equação do elipsóide:
(2/lambda)^24 ;+;(2/lambda)^24;+;(4/lambda)^28 ;=;1
Calculando cada termo:
4/lambda^24 + 4/lambda^24 + 16/lambda^28 = 1lambda^2 + 1lambda^2 + 2lambda^2 = 4lambda^2
Logo
4lambda^2 = 1 Longrightarrow lambda^2 = 4 Longrightarrow lambda = pm 2

Passo 5

Para lambda = 2 temos
x = 22 = 1, y = 1, z = 42 = 2,
e a soma x+y+z = 1+1+2 = 4.
Para lambda = -2 obtém-se (x,y,z)=(-1,-1,-2) cuja soma é -4, um mínimo. Portanto o máximo ocorre em
(1,1,2)

Resposta

O ponto do elipsóide que maximiza x+y+z é (1,1,2).

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