Exercício 2.3.4. Esboce as superfícies descritas pelas equações:
z=y^2+2 y-3

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a superfície dada por
z = y^2 + 2y - 3
O conteúdo envolve reconhecimento de superfícies quadráticas e uso de seções planas para entender a forma do gráfico.

Passo 2

Repare que a variável x não aparece na equação: para qualquer x fixo a relação entre y e z é sempre a mesma. Logo, a superfície é um cilindro cuja geratriz é paralela ao eixo x.

Passo 3

Para ver a forma da seção em cada plano x=constante, analisamos a parábola em y- z. Completar o quadrado em
z = y^2 + 2y - 3
z = (y+1)^2 - 1 - 3 = (y+1)^2 - 4
Portanto cada seção é uma parábola de vértice em (y,z)=(-1,-4) e que abre para zto+infty.

Passo 4

Para cada valor fixo de y=y0, a equação fornece
z = y0^2 + 2y0 - 3 = constante,
o que, variando x, gera linhas retas paralelas ao eixo x.

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe no plano y- z a parábola ,z=(y+1)^2-4, marcando o vértice (-1,-4).
  2. Em seguida, imagine que essa parábola se estende em todas as direções de x, formando um cilindro parabólico.

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico de equação
z = (y+1)^2 - 4,
cuja geratriz é paralela ao eixo x e cuja seção em qualquer plano x= constante é a parábola com vértice em (-1,-4).

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