Exercício 2.3.4. Esboce as superfícies descritas pelas equações:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a superfície dada por
O conteúdo envolve reconhecimento de superfícies quadráticas e uso de seções planas para entender a forma do gráfico.
Passo 2
Repare que a variável
não aparece na equação: para qualquer
fixo a relação entre
e
é sempre a mesma. Logo, a superfície é um cilindro cuja geratriz é paralela ao eixo
.
Passo 3
Para ver a forma da seção em cada plano
, analisamos a parábola em
-
. Completar o quadrado em
dá
Portanto cada seção é uma parábola de vértice em
e que abre para
.
Passo 4
Para cada valor fixo de
, a equação fornece
o que, variando
, gera linhas retas paralelas ao eixo
.
Passo 5
Para esboçar:
- Desenhe no plano
- a parábola , marcando o vértice . - Em seguida, imagine que essa parábola se estende em todas as direções de
, formando um cilindro parabólico.
Resposta
A superfície é um cilindro parabólico de equação
cuja geratriz é paralela ao eixo
e cuja seção em qualquer plano
constante é a parábola com vértice em
.